6.3.3.Численное вычисление производной функции одного переменного

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одного переменной в точке x_k, записанное в конечных разностях, имеет вид:

,

где Δx – очень малая конечная величина.

При достаточно малых значениях Δх, можно с приемлемой точностью получить величину производной функции в точке. Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную зависимость. Рассмотрим технологию вычисления производной на примере.

Найти производную функции Y= 2x³ + x²в точкеx=3. Заметим, что производная приведенной функции в точкеx=3 . Напомним, что производная приведенной функции, вычисленная аналитическим методом, равна 60 – это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом в электронной таблице.

Решим задачу двумя способами.

Способ 1

Введем в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функциональной зависимости, например в ячейку В2, как показано на рис. 6.10, делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2:

= 2*А2^3+A2^2

Зададим окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева Х_k= 2,9999999, а значение справа Х_k+1= 3,00000001 и введем эти значения в ячейку А2 и А3 соответственно.

В ячейку С2 введем формулу вычисления производной (см. рис. 6.10):

= (В3-В2)/(A3-A2)

Рис. 6.10

В результате вычисления в ячейке С2 будет выведено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически.

Способ 2

Введем в ячейку рабочего листа (А2) заданное значение аргумента, равное 3, в другой ячейке (В2) укажем достаточно малое приращение аргумента - (1E-9), в ячейку С2 введем формулу для вычисления производной - =(2*(A2+B2)^3+(A2+B2)^2-(2*A2^3+A2^2))/B2.

После нажатия клавиши Enter получим результат вычисления 60,0000.

Как видим, результат получен такой же, как и при первом способе. Приведенный второй способ является более предпочтительным в случаях, когда нужно построить таблицу значений производной функции для заданных значений аргумента.

Используя приведенную технологию численного вычисления производной функции в заданной точке, проверим, является ли найденная точка x= -0,5 точкой экстремума функцииY= X²+X +2 . Решение приведено на рис. 6.11

Рис. 6.11

Как видно, производная в найденной точке равна нулю, следовательно, найденное в примере значение функции является ее экстремальным значением.

6.3.4. Кривые спроса и предложения, точка равновесия

Известно, что чем ниже цена (p), тем больше спрос (D) при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость спроса от цены в графическом представлении имеет вид ниспадающей линии, чаще всего приближающейся к прямой. В свою очередь, предложение растет с увеличением цены на товар и в графическом представлении имеет восходящей линии.

В экономике представляет интерес условие равновесия спроса и предложения.

Если зависимость спроса от цены определяется функцией D=f(p), а зависимость предложения от цены – S=φ(p), то условие равновесия определяется уравнением:

f(p)= φ(p)

и соответствует точке пересечения кривых D и S. Цена Р₀, при которой выполняется это условие, называется равновесной.

Рассмотрим технологию решения задачи определения точки равновесия на примере.

Зависимость спроса yна некоторый товар от ценыx выражается уравнением f₁(x) =2/x -y + 2, а зависимость предложения от цены – уравнениемf₂(x) = x² - y + 1. Требуется, решив систему уравнений, найти точку равновесия в диапазонес точностью 0,001.

Решение

Приведем исходные уравнения к системе следующего вида:

Создадим последовательность значений xс шагом 0,2.

Рассчитаем значения функций спроса f(x) и предложения φ(x) для сформированной последовательности значенийx(рис. 33).

Построим графики функций по данным таблицы.

Подведем указатель мыши к точке пересечения кривых – отобразятся приближенные координаты точки равновесия. В данном случае цена хв точке равновесия равна 1,6, предложение и спрос характеризуются величиной 3,6 (рис. 6.12).

Рис. 6.12

Применяя приведенную выше технологию, уточним решение. Результат уточнения приведен на рис. 6.13.

Рис. 6.13

Таким образом, равновесное значение цены составляет 1,521, а спрос и предложение находятся в равновесии и выражаются величиной 3,315.

В экономических задачах одни экономические показатели являются функциями Y=f(x) каких - либо других показателей или величин. Иначе говоря, существует зависимость одних показателей от других –Y=f(x).

Так, например, себестоимость продукции зависит от производимого объема C=f(Q), издержки производства – зависят от количества выпускаемой продукции и т.п.

Предельные экономические показатели характеризуют величину прироста величины функции ΔY от прироста ее аргумента Δx:

Так, например, предельная себестоимость характеризует себестоимость ΔС прироста продукции ΔQ:

Если зависимость ΔY от Δx непрерывна, то приведенное разностное уравнение можно заменить производной .

Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции в денежных единицах выражается формулой C=20Q – 0,05Q³

Требуется определить предельные издержки производства при объеме выпускаемой продукции 10 ден.ед.

Решение.

Предполагая, что в ячейке А2 рабочего листа будет записано значение Q_k - левая граница окрестности точкиQ=10, в ячейку В2 введем формулу

=20*А2 – 0,05*А2^3.

Скопируем введенную формулу в ячейку В3 (рис.6.14).

В ячейку С3 введем формулу вычисления производной: =(B3-B2)/(A3-A2). В ячейки А2 и А3 введем значения Qдля левой и правой окрестности, соответственно (рис. 6.14).

Рис. 6.14

После выполнения приведенных выше операций в ячейке С2 будет получен результат (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Таким образом, предельные издержки производства при объеме выпускаемой продукции 10 ден.ед. составляют примерно 4,99999 ден. ед. Зависимость затрат от объема производства задана приведенной ниже таблицей. Требуется найти предельные издержки производства при объеме выпуска х=1,9.

Указания: в данной задаче функция зависимости затрат от объема производства задана не аналитически, а таблично. Поэтому, нужно прежде всего получить аналитическую зависимость в виде интерполяционной функции и используя ее решить задачу в соответствии с приведенной в примере технологией.

Объем производства	Затраты
1	2,7
1,2	3,2
1,4	3,7
1,6	4,1
1,8	4,7
2	5,1
2,2	5,6
2,4	5,8