2. Понятие и виды коррел. И регресс. Задачи коррел. И регресс. Ан-за

В эк-ке между явл. и проц. сущ. 2 вида завис-тей: функц-ная и статистич. 1-ая им. место тогда, когда на исслед. показатель действ. только рассматр. факторы.

В эк-ке между перемен. велич-ми сущ. завис., когда кажд. знач. одной переменной соответ. мн-во знач. др.перем-ой-статистич. завис-ть(стохастич., вероятностная).

В силу неодназнач. стат. завис-ти между Х и У интерес представ. завис-ть как независ. Х влияет на завис. переем. У «в среднем», т.е. завис-ть в измер. мат. ожид. случ. перемен. У, вычесл-го в предполож., что Х приним. знач. х-коррел. завис-ть, кот. можно опис. с пом. ф-ции регрессии У по Х: М(У/Х=х)=М(У/х)=Мх(У)=f(x) (1)

Зависим. перемен. У наз. объясняемой, выходной, эндоген.

Независ. перемен. Х наз. объясняющ., входной, экзаген.

При рассмотр. завис-ти двух случ. величин говор. о парн. завис-ти, а завис-ть мн. перемен. наз. множеств. регрессией М(У/х1,х2,…,хm)=f(х1,х2,…,хm)

Различ. след. виды регрессий:

1)простая (парная)-завис-ть между двумя перемен.

2)множеств.-завис-ть между завис. перемен. и неск. независ.перем.

3)линейн.-опис. лин. ф-цией

4)нелин.-опис. нелин.ф-цией

5)положит.-с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-но увелич. или сниж. зависимая

6)отриц.- с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-носниж.или увелич. зависимая

7)непосредств.-завис. и независ. перемен. связ. между собой

8)косвен.-независ. перем. действ. на завис.через др. переем.

9)ложная-строится, если между перем.отсутств. завис-ть

Задачи регресс. ан-за:

• уст. вида завис-ти между эк. перемен.

• опред. ф-ции регрессии

• опред. неизвест. знач.зависим.перемен.

Корр-ция тесно связ. с регрессией. Если в регресс. ан-зе исслед-ся форма завис-ти , то в коррел.-сила, степень этой завис-ти.

Задачи коррел. ан-за:

• измер. степени завис-ти 2или более эк-ких показат.

• отбор факторов, оказ-х наиболее сильн.влиян. на завис. перем.

• обнаруж. неизвест. завис-тей

3. Парн. Лин. Регресс.(плр)

ПЛР- лин. ф-ция между усл. мат. ожид-ем М(У/хi) завис.перем. У и одной независ. переем.Х.

М(У/хi)=β0+β1хi, i=1͞,n, где хi-знач. независ. перем.в i-том наблюд. (1).

Для отраж. факта, что кажд. индивид. знач. уi отклон. от соответ. усл-го мат.ожид.,в формулу (1) необход. ввести случ. слог.εi: уi=М(У/хi)+εi=β0+β1xi+εi, i=1͞,n – теоретич. регресс-ная лин. модель.

β0 и β1- теоретич. коэф.регрес.

εi- теор. случ. отклон.

В общ. виде теор. лин. регресс. модель можно запис.: У=β0+β1Х+ε

По выборке огранич. объема (хi;уi), i=1͞,n можно постр. эмпирич. ур. регресс.:у͞i=в0+в1хi, i=1͞,n,(2) где уi͞͞-оценка усл-го мат. ожид.-М(У/хi), в0 и в1-оц-ки теор. коэф.регрес., кот. наз.эмпирич. коэф-ми => уi=у͞i +ei, i=1͞,n,(3) где еi – оц-ка случ. отклон. εi.

Поскольку генер. сов-ть практич. всегда неизвестна, то оценен. парам. в0 и в1 практич. всегда отлич. от истин. знач. β0 и β1. (рис). Задача сост. в том, чтобы по конкрет. выборке найти такие в0 и в1, чтобы построен. линия регрессии явл. бы наилучш. среди всех др.прямых, т.е. была наиближ. ко всем наблюд. по их сов-сти.

4. М-д наим. квадратов.

Для нахождения b₀ и b₁ м. использовать несколько м-дов: МНК, м-д моментов, max-го правдоподобия.

Согласно МНК эмпирические коэф-ты регр. b₀ и b₁ опр-ются из того факта, что Σ квадратов расстояний эмпирич. Знач-ий зав-мой перем-ой y_i от расч. знач-ий y_i^ д.б. миним-ой.

Q(b₀,b₁)=Σ(i=1,n)(y_i-y_i^)²=Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)² → min

Необходимым условием существования min в ф-ии переем-ых явл. равенство 0 ее частных производных по неизвестным параметрам b₀ и b₁:

Знак с-мы.:δQ/δb₀=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)=0

δQ/δb₁=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)x_i=0

δ(частная производная)

З.с.: Σb₀+Σb₁x_i=Σy_i

Σb₀x_i+Σb₁x²_i=Σx_iy_i

З.с.: nb₀+b₁Σx_i=Σy_i

B₀Σx_i+b₁Σx²_i=Σx_iy_i

Разделим все на n:

Для практич-х расчетов последние ф-лыприменять не рекомендуется, т.к. в них происх. округление данных.

Лучше ипольз-ть след. ф-лы:

b₁=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/(nΣx²_i-(Σx_i)²)

b₀=(Σx²_iΣy_i-Σx_iΣx_iy_i)/(nΣx_i-(Σx_i)²).