7.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медици­ны особый интерес, так как кровеносная система состоит в основ­ном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.

Примерное распределение скорости сло­ев v жидкости в сечении трубы показано на рис. 7.2.

Для определения зависимости ско­рости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (рис. 7.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления p_l и р₂ соответственно, что обусловливает результирующую силу

(7.2)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (7.1)]

_(7.3)

где S = 2rl—площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выде­ленный цилиндр, уравновешены: F = F_тр . Подставляя в это равен­ство (7.2) и (7.3), получаем

(7.4)

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что d/dr < 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (7.4) имеем

Проинтегрируем это уравнение:

(7.5)

здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внут­ренней поверхности трубы (= 0 при r = R), а верхние пределы — переменные. После интегрирования (7.5) получаем параболиче­скую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 7.2):

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, про­текающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Площадь сече­ния этого слоя (рис. 7.3, б) dS = 2rdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью . За 1 с слой переносит объем жидкости

dQ = dS =  • 2rdr/. (7.7)

Подставляя (7.6) в (7.7), получаем

откуда интегрированием по всему сечению находим

Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизон­тальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазейля (7.8), где  — вязкость жидкости, а р₁ - р₂ — разность давле­ний, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.

Как видно из (7.8), при заданных внешних условиях (р₁ и р₂) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (7.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, элект­рическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:

(7.9)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво­ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект­рического сопротивления последовательного и параллельного соеди­нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, со­единенных последовательно (рис. 7.4, а) и параллельно (рис. 7.4, б), вычисляется соответственно по формулам:

Х = Х₁ + Х_г + Х₃, (7.10)

(7.11)

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р₁ - р₂)/dl градиентом давления dp/dl, и тогда

(7.12)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, мано­метрические трубки (рис. 7.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорци­онально l : dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимае­мая жидкость), то [см. (7.12)] градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб разного радиуса приближенно показан на рис. 7.5, б

Физические вопросы гемодинамики

Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физи­ческой основой гемодинамики является гидродинамика Те­чение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов

В главе рассматриваются также физические основы работы некоторых технических устройств, используемых в связи с кровообращением.