§ 2.3. Нормальный закон распределения

В теории вероятностей и математической статистике, в различ­ных приложениях важную роль играет портальный закон рас­пределения (закон Гаусса). Случайная величина распределена по этому закону, если плотность вероятности ее имеет вид

гдеа =М(Х) — математическое ожидание случайной величины; а — среднее квадратическое отклонение; следовательно,²— дисперсия случайной величины.

Кривая нормального закона распределения имеет колоколообразную форму (рис. 2.1), симметричную относительно прямой х =а (центр рассеивания). В точкех =а функция достигает максимума:

По мере возрастания х - а функция f(x) монотонно убывает, асимптотически приближаясь к нулю. С уменьшением криваястановится все более и более островершинной. Изменение а при постоянной  не влияет на форму кривой, а лишь сдвигает ее вдоль оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой, согласно условию нормировки, равна единице. На рисунке 2.1 изображены три кривые. Для кривых1 и2 а = 0, эти кривые отличаются зна­чением  (₁ < ₂); кривая 3 имеет а  0 ( = ₂).

Вычислим функцию распределения (2.19) для этого случая:

(2.23)

Обычно используют иное выражение функции нормального распределения. Введем новую переменную , следовательно, dx = dt. Подставив эти значения в (2,23), получим

(2.24)

Значения функции Ф(t) обычно находят в специально состав­ленных таблицах (см. [2]), так как интеграл (2.24) через элемен­тарные функции не выражается. График функции Ф(t)изображен на рисунке 2.2.

На основании (2.17) можно вычислить вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении находится в интервале(х₁, х₂). Без вывода, по аналогии с (2.24), укажем, чтоэта вероятность равна

(2.25)

Воспользуемся выражением (2.25) для вычисления следующих вероятностей

Отметим, что Ф(-t) = 1 - Ф(t), поэтому Р = 2Ф(1) - 1. По таб­лице находим Ф(+1) = 0,8413, откуда

Р = 2 • 0,8413-1 = 0,683; (2.26а)

По таблице находим Ф(2) = 0,9772, откуда

Р = 2 • 0,9772 - 1 = 0,954; (2.26б)

По таблице находим Ф(3) = 0,9986, откуда

Р = 2 • 0,9986 - 1 = 0,997. (2.26в)

На рисунке 2.3 приведено нормальное распределение (а = 0) и штриховкой показаны области, площади которых равны вероят­ностям 0,683 и 0,954.

Допустим, что произвольно из нормального распределения вы­бираются группы по п значений случайных величин. Для каждой группы можно найти средние значения, соответственно х₁, х₂, ..., x_i, ... . Эти средние значения сами образуют нормальное распреде­ление (в отличие от изложенного выше нормального распределе­ния здесь каждому среднему значению x_i будет соответствовать не вероятность, а относительная частота). Математическое ожида­ние такого «нового» нормального распределения равно математи­ческому ожиданию исходного нормального распределения, а дис­персия (D_n) и среднее квадратическое отклонение (_п) отличаются соответственно в n в раз относительно этих характеристикисходного распределения:

(2.27)

Это положение здесь не доказывается, но его можно проиллю­стрировать рисунком 2.4, на котором приведены графики нор­мальных распределений, полученных для групп со значениями п, равными 1, 4, 16, и п  . Рассмотрим крайние частные случаи. При /г=1 приходим к исходному нормальному распределению, поэтому о_п = о. При п   _п  0; фактически в этом случае «группа случайных величин» — это все исходное распределение, других групп нет, поэтому среднее значение выражается только одним числом и оно соответствует математическому ожиданию. Все распределение сводится к этому значению математического ожидания (на графике представлено вертикальной линией).