
- •Елементи теорії поля Тема 15.1. Основні поняття теорії поля
- •Тема 15.2. Скалярне поле
- •15.2.1. Поверхні і лінії рівня
- •15.2.2. Похідна за напрямом
- •15.2.3. Градієнт скалярного поля і його властивості
- •Тема15.3. Векторне поле
- •15.3.1. Векторні лінії поля
- •15.3.2. Потік поля
- •15.3.3. Дивергенція поля. Формула Остроградського – Гаусса
- •15.3.4. Циркуляція поля
- •15.3.5. Ротор поля. Формула Стокса Ротором (або вихором) векторного поля
- •Тема 15.4. Оператор Гамільтона
- •15.4.1. Векторні диференціальні операції першого порядку
- •15.4.2. Векторні диференціальні операції другого порядку
- •1. .
- •Тема 15.5. Деякі властивості основних класів векторних полів
- •15.5.1. Соленоїдальне поле
- •15.5.2. Потенціальне поле
- •15.5.3.Гармонійне поле
15.3.4. Циркуляція поля
Нехай векторне
поле утворене вектором (3.1). Візьмемо в
цьому полі деяку замкнену криву
і виберемо на ній певний напрямок.
Нехай
- радіус-вектор точки
на контурі
.
Відомо, що вектор
,
напрямлений по дотичній до кривої в
напрямку її обходу (див.
рис. 10) і
,
де
- диференціал дуги кривої
.
Рис. 10
Криволінійний
інтеграл по замкнутому контурі
від скалярного добутку вектора
на вектор
,
дотичний до контуру
,
називаєтьсяциркуляцією
вектора
вздовж
,
тобто
.
(3.10)
Розглянемо різні форми запису циркуляції. Оскільки
,
де
- проекція вектора
на дотичну
,
проведену в напрямку обходу кривої
,
то рівність (3.10) можна записати у вигляді
,
(3.11)
або
(3.12)
Циркуляція
,
записана у вигляді (3.12) має простий
фізичний зміст: якщо крива
розташована в силовому полі, то циркуляція
– це робота сили
поля при переміщенні матеріальної точки
вздовж
.
Відзначимо, що
вздовж замкнених векторних ліній
циркуляція відмінна від нуля, тому що
в кожній точці векторної лінії скалярний
добуток
зберігає знак: додатній, якщо напрямок
вектора
збігаєтьсяз
напрямком обходу векторної лінії;
від’ємний – у іншому випадку.
Приклад 3.5.
Знайти
циркуляцію вектора поля лінійних
швидкостей тіла обертання (див.
приклад 1.2)
вздовж замкненої кривої
,
що лежить у площині
,
перпендикулярній осі обертання.
○Будемо вважати,
що напрямок нормалі до площини
збігається з напрямком осі
.
Відповідно до формули(3.12), маємо:
,
де
- площа поверхні, обмежена кривою
.
Помітимо, що якщо
нормаль до поверхні
утворить кут
з віссю
,
то циркуляція буде рівною
;
зі зміною кута
величина
змінюється. ●
Приклад 3.6.Обчислити циркуляцію векторного поля
вздовж периметра
трикутника з вершинами
,
,
(див. рис. 11).
○ Відповідно до формули (3.12), маємо:
.
Рис. 11
На відрізку
:
,
,
отже,
.
На відрізку
:
,
,
отже,
На відрізку
:
,
,
отже,
.
Отже,
. ●
15.3.5. Ротор поля. Формула Стокса Ротором (або вихором) векторного поля
називається вектор,
що позначається
й визначається формулою
(3.13)
Формулу (3.13) можна записати за допомогою символічного визначника у вигляді, зручному для запам'ятовування:
.
Відзначимо деякі властивості ротора.
Якщо
- постійний вектор, то
.
, де
.
, тобто ротор суми двох векторів дорівнює сумі роторів доданків.
Якщо
- скалярна функція, а
- векторна, то
.
Ці властивості легко перевірити, використовуючи формулу (3.13). покажемо, наприклад, справедливість властивості 3:
Використовуючи поняття ротора і циркуляції, векторного поля, запишемо відому в математичному аналізі формулу Стокса:
. (3.14)
Ліва частина
формули (3.14) являє собою циркуляцію
вектора
по контуру
,
тобто
(див.
(3.11)), тобто
.
Отже, формулу Стокса можна записати у вигляді
Рис. 12
.
(3.15)
Таке представлення
формули Стокса називають її векторною
формою.
У цій формулі додатній напрямок на
контурі
і вибір сторони у поверхні
погоджені між собою так само, як у теоремі
Стокса.
Формула (3.15) показує,
що циркуляція
вектора
вздовж замкненого контуру
дорівнює потоку ротора цього вектора
через
поверхню
,
що лежить у полі вектора
й обмежену контуром
(натягнутий
на контур) (див. рис. 12).
Використовуючи формулу (3.14), можна дати інше означення ротора поля, еквівалентне першому і не залежне від вибору координатної системи.
Для цього застосуємо
формулу Стокса (3.15) для досить малої
плоскої площі
з контуром
,
що містить точку
.
За теоремою про середнє для поверхневого інтеграла (властивість 7) маємо:
,
де
- якась (середня) точка площі
(див.
рис. 13).
Рис.13
Тоді формулу (3.15) можна записати у вигляді
.
Звідси:
.
Нехай контур
стягається в точку
.
Тоді
,
а
.
Перейшовши до границі отримаємо:
.
Ротором вектора
в точці
називається вектор,
проекція якого на кожний напрямок
дорівнює границі відношенню циркуляції
вектора
по контуру
плоскої площадки
,
перпендикулярної цьому напрямку, до
площі цієї площадки.
Як видно з означення,
ротор вектора
є векторна величина,
що утворює власне векторне поле.
Дамо фізичне
тлумачення поняття ротора векторного
поля. Знайдемо ротор поля лінійних
швидкостей твердого тіла, що обертається
навколо осі
з постійною кутовою швидкістю (приклад
1.2)
,
тобто ротор вектора
.
За означенням ротора
.
Ротор цього поля напрямлений паралельно осі обертання, його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання.
З точністю до
числового множника ротор поля швидкостей
являє собою кутову швидкість обертання
твердого тіла. З цим зв'язана сама назва
“ротор” (лат. “обертання”).
Зауваження.
З означення (3.13) ротора випливає, що
напрямок ротора – це напрямок, навколо
якого циркуляція має найбільше значення
(густину) у порівнянні з циркуляцією
навколо будь-якого напрямку, що не
збігається з нормаллю до площадки
.
Тому зв'язок між ротором і циркуляцією аналогічний зв'язку між градієнтом і похідною за напрямом.