, Или .

Работа сил поля при перемещении заряженных частиц (гл. 1, §6). Циркуляция вектора напряженности. Потенциальный характер электростатического поля. Разность потенциалов (электрическое напряжение). Потенциал электрического поля. Потенциал электрического поля точечной заряженной частицы, системы заряженных частиц и заряженной сферы.

Дополнение. На заряженную частицу в электрическом поле действует сила , гденапряженность электрического поля зарядав точке нахождения заряженной частицы с зарядом. Эта сила совершает работу по перемещению заряженной частицы из точки 1в точку 2(рис. 3.2), которая равна

.

Рис. 3.2

С учетом того, что , а, искомая работа равна

. (3.1)

Откуда видно, что работа сил поля по перемещению частицы не зависит от формы траектории, по которой она перемещается, а определяется начальной и конечной точками этой траектории, а также величиной переносимого заряда для данного поля заряженной частицынеподвижной относительно ИСО.

Из (3.1) следует, что эта работа по замкнутой траектории равна нулю, т.е.

. (3.2)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля. Из (3.2) следует, что

.

Электрическое поле, циркуляция вектора напряженности которого равна нулю, называется потенциальным полем.

Итак, электрическое поле неподвижных относительно ИСО заряженных частиц – поле потенциальное. Следует отметить, что по этой же причине потенциальным является и гравитационное поле (см. т. 1, гл. 3, §21).

Физический смысл циркуляции вектора напряженности электрического поля состоит в том, что она представляет собой работу, совершаемую электрическим полем по перемещению заряженной частицы с единичным положительным зарядом вдоль замкнутой траектории.

Тот факт, что работа по перемещению заряженной частицы с единичным зарядом не зависит от формы траектории, по которой она перемещается, а определяется лишь начальной и конечной точками этой траектории (т.е. зависит только от точек поля 1 и 2) позволяет ввести новую – энергетическую характеристику точек поля – разность потенциалов (электрическое напряжение):

. (3.3)

Из этого определения следует, что

,

где и- соответственно, электрические потенциалы точек 1,2.

В СИ .

1 Вольт – это такая разность потенциалов между двумя точками поля, при перемещении между которыми заряженной частицы с зарядом в 1 Кл, электрическое поле совершает работу в 1 Дж.

Полагая в (3.3) (в теории точка 2 берется в бесконечности) получаем, что:

Электрический потенциал некоторой точки поля определяется как скалярная физическая величина – энергетическая характеристика точки поля, равная работе, которую совершают силы поля по перемещению заряженной частицы с единичным положительным зарядом из данной точки поля в бесконечность, где потенциал условно принимается равным нулю, т.е.

. (3.4)

На практике нулевое значение потенциала может быть выбрано где угодно, ибо практическое значение имеет лишь разность потенциалов, а не сам потенциал.

Если электрическое поле образовано несколькими заряженными частицами, то потенциал результирующего поля в любой точке равен алгебраической сумме потенциалов в этой точке от каждой из заряженных частиц, т.е.

(принцип суперпозиции).

Потенциальная энергия взаимодействия точечной заряженной частицы с электрическим полем другой. Эквипотенциальные поверхности. Градиент потенциала. Связь между напряженностью электрического поля и потенциала (гл. 1, §6, 8). Потенциал поля точечного заряда, системы точечных зарядов (гл. 1, §6). Потенциал поля заряженной сферы.

Дополнение. Установить связь между ии прийти к понятию градиента потенциала можно следующим образом.

Рассмотрим электрическое поле уединенной заряженной частицы с зарядом неподвижным относительно ИСО и проведем две близкие эквипотенциальные поверхности 1 и 2 (рис. 3.3) с разностью потенциалов между ними.

Рис. 3.3

Работа по перемещению заряженной частицы с из точки 1 в 2 может быть выражена как, а с другой стороны эту же работу можно выразить через изменение потенциала:

, где .

Из сравнения этих выражений, найдем , откуда

.

Знак «минус» показывает, что по направлению вектора потенциал убывает, и наоборот, векторнаправлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

Величина , характеризующая как быстро изменяется потенциал в направлении его наиболее быстрого изменения, называется градиентом потенциала – векторная физическая величина и обозначается как, т.е.

.

Таким образом, напряженность электрического поля в некоторой точке равна градиенту потенциала в этой точке, взятому со знаком минус.

В общем же случае в векторном анализе градиент является оператором (оператор Гамильтона и обозначается через знак набла – ).

.

Здесь ,,- единичные орты, ориентированные вдоль осей,,.

Так что:

.