Тема 1.4 Вращательное движение

Кинематика вращательного движения. Вращательной движение вокруг точки и неподвижной оси. Радиус кривизны траектории. Угловая скорость и ускорение. Связь между угловыми и линейными скоростями. Тангенциальное и нормальное ускорения.

Динамика вращательного движения материальной точки и твердого тела. Момент силы. Пара сил. Момент пары сил. Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции материальной точки твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения материальной точки твердого тела.

Работа и мощность внешних сил при вращательном движении материальной точки и твердого тела вокруг неподвижной оси вращение. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Закон сохранения момента импульса.

Проработать этот материал, прочитав §5, 29, 36, 37, 38 (до формулы 38.8), §39, 41 (до формулы 41.1), 42, 43.

Дополнение. Поскольку материал, касающийся основного закона динамики вращательного движения и закона сохранения момента импульса изложен в §29, 38 громоздко, ниже приводится упрощенный вариант его изложения.

Рассмотрим однородное твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис. 1.1) и пусть в некоторой точке расположенной на расстоянии от оси вращения приложена сила(на рис. 1.1 не указана). Эту силу всегда можно расположить по правилу параллелограмма на две составляющие – вдоль радиуса от оси вращения и по касательной к окружности радиусав плоскости перпендикулярной к осиОО - .

Рис. 1.1

Очевидно, что первая составляющая стремится лишь деформировать ось вращения и не может вызвать вращение тела (поэтому на рис. 1.1 также не указана). Момент силы создается только составляющей . Следовательно, элементарная работа, совершенная этой силой при повороте тела на угол, равна

,

откуда

,

где - момент силы относительно оси вращения.

И если , то

.

Что касается механической мощности, которая равна совершенной работе в единицу времени, то для случая , она равна

,

где - угловая скорость.

Воспользуемся теперь теоремой об изменении кинетической энергии: , но, а, где- момент инерции твердого тела, следовательно

.

Разделив теперь последнее равенство на , получим

.

Таким образом, в векторной форме

,

где - угловое ускорение.

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения при . Для наглядности сравните его с основным законом динамики поступательного движения твердого тела или материальной точки:

.

Кроме того, так как , приходим к этому закону в общей формулировке:

,

где - момент импульса твердого тела.

Если система замкнута или изолирована (в этом случае ), то тогда, откуда, т.е. мы пришли к закону сохранения момента импульса тела или системы тел.

Отметим, что хотя это равенство мы ввели, положив момент инерции тела постоянным, оно справедливо и тогда, когда во время движения момент инерции каким-либо образом меняется. В этом случае для сохранения момента импульса (в замкнутой системе) угловая скорость также должна меняться в соответствующую сторону.