4. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, оказывая на него внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (Е = Е₀cosωt) или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = U_m cosωt).

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (3) из предыдущей темы примет вид

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = Е₀cosωt. (1)

Вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

q = q_mcos(ωt - ψ), (2)

где ψ – сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

tg ψ = R/(1/ωC –ωL).

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией(2).

Продифференцировав выражение (2) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

I = - ωq_m sin(ω₀t - ψ) = I_m cos(ω₀t - ψ + π/2).

Это выражение можно записать в виде

I = I_m cos(ωt - φ), (3)

где φ = ψ – π/2 – сдвиг по фазе между током и приложенной э.д.с., а

tgφ = tg(ψ – π/2) = - 1/tgψ = (ωL -1/ωC)/R. (4)

I_m = E₀/√R² + (ωL – 1/ωC)²,

где R_L = ωL – реактивное индуктивное сопротивление, R_C = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление, Х = ωL – 1/ωC – реактивное сопротивление,

Z = √R² + (ωL – 1/ωC)² – полное сопротивление цепи. (4а)

Разделив выражение (2) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

U_C = (q_m/C) cos(ωt - ψ) = U_Cmcos(ωt – φ –π/2), (5)

где

U_Cm = q_m/C = U_m/ωC√ R² + (ωL – 1/ωC)² = I_m/ωC. (6)

Умножив производную функции (3) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

U_L = L(dI/dt) = - ωLI_msin(ωt – φ) = U_Lmcos(ωt – φ + π/2), (7)

где U_Lm = ωLI_m.

Сравнивая (3), (5) и (7) видим, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током.

5. Резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений. В цепи переменного тока, с последовательно включенными L, C и R, полное сопротивление контура имеет минимальное значение Z_min = R, если ωL = 1/ωC. В этом случае ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные значения (возможные при данном U_m), что свидетельствует о наличии резонансной частоты ω_рез для тока, значение которой определяется по условию

ωL = 1/ωC, откуда ω_рез = 1/√LC = ω₀, (8)

т.е. резонансная частота для силы тока равна частоте собственных колебаний в контуре. Напряжение на R равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_R =U).

Это явление называетсярезонансом напряжений (последовательным резонансом) – резкое возрастание амплитуды силы тока в контуре с последовательно включенными L, C, R и Е при ω_рез = 1/√LC = ω₀.

I₀ I_m

0,7·I_{m рез}= I_{m рез}/√2

ω₁ ω_рез ω₂ ω

Рис.1. Δω = ω₂ – ω₁.

В случае резонанса напряжений

(U_L)_рез = (U_С)_рез.

Подставив в эту формулу значения резонансной частоты (8) и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе (6), (7), получим

(U_L)_рез = (U_С)_рез = I_m √L/C = (U_m/R)√L/C = QU_m, (9)

где Q – добротность контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. Так как Q обычных колебательных контуров больше единицы, то (U_L)_рез = (U_С)_рез > Е, т.е. добротность показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (катушке) больше напряжения приложенного к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты, выделения из многих сигналов одного колебания определенной ν.

Можно показать, что

Δω/ω_рез = 1/ Q – (10)

относительная полуширина резонансной кривой.

При резонансной частоте сдвиг фаз φ между током и напряжением обращается в нуль (φ=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно колебаниям внешней э.д.с.:

Е = E₀cos ω_резt, I_рез = (E₀/R)cos ω_резt, I₀^max = E₀/R.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные L и С, R = 0.

I₁ C

I 1 2

I₂ L ~U

Рис.2.

Если приложенное напряжение изменяется по закону U =U_mcosωt,

то в ветви 1С2 течет ток

I₁ = I_m1cos(ωt–φ₁), φ₁ = (2n+3/2)π, n=1, 2, 3, ... (11)

амплитуда которого при условии L = 0 и R = 0:

I_m1 = U_m/(1/ωC).

Аналогично, сила тока в цепи 1L2

I₂ = I_m2cos(ωt–φ₂), φ₂ = (2n+1/2)π, n=1, 2, 3, ... (12)

амплитуда которого при условии R = 0 и С=∞ (условие отсутствия емкости в цепи):

I_m2 = U_m/(ωL).

Cравнив (11) и (12) видим, что φ₂ - φ₁ =π, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи

I_m = | I_m1 - I_m2 |= U_m|ωC – 1/(ωL)|.

Если ω = ω_рез = 1/√(LС), то I_m1 = I_m2 и I_m = 0.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ω_рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).

Амплитуда тока оказалась равной нулю, так как считали, что активное сопротивление контура R = 0. При R ≠ 0 разность фаз φ₂ - φ₁ ≠ π, поэтому I_m ≠ 0 и сила тока I в подводящих проводах примет наименьшее возможное значение, обусловленное только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому его свойства используются в резонансных усилителях, позволяющих выделить одно определенное колебание из сигнала сложной формы.