Тема занятия 21: Переходные процессы в цепях второго порядка.

Цепи второго порядка – это цепи, свободные процессы, в которых описываются дифференциальные уравнения второго порядка.

Цепями второго порядка являются цепи с двумя накопителями энергии.

Пусть до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения U₀.

Запишем второй закон Кирхгоффа после коммутации:

U_C+U_L+U_R=0

U_R=R_i U_L=LU_C+R_i+L=0

- подставляем в уравнение

U_C+LCRC=0 разделим на величинуLC,

U_{C ПР}=0, то есть конденсатор в замкнутом контуре полностью разряжается.

U_C=U_{C CВ}

Определим ее:

Составим характеристическое уравнение:

k²+Rk/L+1/LC=0 – решением уравнения будет

U_C=A₁e+A₂e, гдеk₁иk₂– корни характеристического уравнения

При этом может оказаться три случая:

1. R<2ρ– цепь с малым затуханием

2. R>2ρ– цепь с большим затуханием

3) R=2ρ

Обозначим , получим:

Если подставить в выражениеU_C=A₁e+A₂eи учесть два закона коммутации, то

- начальная фаза свободных колебаний

21.1 Единичная функция

Единичной функцией называется скачкообразное изменение напряжения от 0 до 1.

Обозначают σ () или 1(t).

Физически подключение цепи к источнику постоянного напряжения 1В есть воздействие в виде единичной функции.

σ(t)=1 – во временном виде

σ(p)=1/p– в оперативном виде.

21.2 Импульсная функция

δ(t) (дельта-функция) – есть производная от единичной функции, т.е. δ(t)=

В операторном виде

Разберем форму дельта-функции. До момента, когда единичная функция равна нулю

σ(t)=0, тогда =0 то есть δ(t)=0.

В момент, когда единичная функция скачком изменит свое значение, при этом угол увеличится до 90⁰,, где- угол наклона функции.

Дельта-функция стремится к бесконечности, но через бесконечно малое время =0, следовательно черезδ(t)0. Площадь дельта-функции равна единице.

Таким образом импульсной функцией называется сигнал с бесконечно большой амплитудой, бесконечно малой длительностью, и площадью равна единице.

21.3 Переходная и импульсная характеристика цепей

Переходной характеристикойцепи по напряжениюназывается закон, по которому изменяется выходное напряжение цепи при единичной функции на входе.

Чтобы определить , необходимо любым образом рассчитать выходное напряжение при подключении цепи к постоянному напряжению, а затем положить это напряжение равным единице.

Определить-?

При подключении к источнику постоянного напряжения , если напряжение равно единице, то переходная характеристика.Операторная переходная характеристикарассчитывается аналогично комплексной передаточной функции.

Импульсная характеристикацепиh(t)- закон выходного напряжения, если входное напряжение представляет импульсную функцию.

Так как , то

H(p)=pk(p) в операторном виде.

Построим график зависимости свободных затуханий от времени переходного процесса:

Затухающая синусоида

Количество колебаний, совершаемых свободной составляющей за время переходных процессов равное Q.

21.4 Переходные процессы в rlc цепи при подключении на синусоидальное напряжение

Если частота генератора совпадает с частотой свободных колебаний, то амплитуда гармонических колебаний выходного напряжения нарастает по экспоненциальному закону.

Воображаемая линия, соединяющая амплитудные значения колебаний называемая огибающей.

, огибающая выходного напряжения изменяется по экспоненциальному закону.

Если частота генератора и частота собственных колебаний несколько отличаются друг от друга, то в одинаковые моменты мгновенные значения свободной и вынужденной составляющих складываются, а в другие – вычитаются, в результате чего на выходе цепи появляются биения с частотой .