Тема занятия 20: Переходные процессы в rc цепи.

20.1 Заряд конденсатора.

При замыкании ключа конденсатор заряжается до напряжения источника, в цепи возникает переходной процесс.

U=U_R+U_c=R_I+U_C– второй закон Кирхгоффа. При последовательном соединении элементов напряжение на зажимах равно сумме напряжений на участках цепи.

i=CdU_c/dt;

U=RCdU_c/dt+U_C– дифференциальное уравнение.

Его решение U_C=U_Cприн+U_Ссв

τ =RC

При t=∞ переходные процессы заканчиваются , напряжение на конденсаторе не изменится и становится постоянным dU_c/dt=0, следовательно из выражения

U=RCdU_c/dt+U_CполучаемU_{с вын}=U.

По окончании переходного процесса постоянный ток перестает протекать через емкость, падение напряжения на сопротивлении становится равным нулю и напряжение на конденсаторе оказывается равным напряжению источника.

Определим свободную составляющую напряжения на конденсаторе. Приравняем дифференциальное уравнение к нулю:

RCdU_c/dt+U_C=0

P+- характеристическое уравнение, следовательно

.

Решение уравнение:

U_{с св}=Аe, то естьUc=U+Ae

Найдем параметр А. Воспользуемся вторым законом коммутации.

U_c-(0)=U_c+(0)

U_c-(0)=0, так как цепь была разомкнута.

В первый момент после коммутации:

U_c+(0)=U_{c прин}(0)+U_ссв(0)=U+Ae⁰=U+A=0

A=-U

U_ссв=-Ue

Тогда : закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде будет иметь вид

U_c=U_cприн+U_ссв=U-Ue=U(1-e)

Так как ток зарядки , то

- закон изменения зарядного тока.

U_c=f(t)- построим эту зависимость:

t=0 Uc=0

t=Uc=0,63U

t=2Uc=0,86U

t=3Uc=0,95U

t=4Uc=0,98U

t=4,6Uc=0,99U

Физический смысл при заряде конденсатора – это время, за которое напряжение на конденсаторе достигает значения 0б63 от установившегося значенияU.

20.2 Разряд конденсатора

Ключ находится в положении 2, то есть уже имеется конденсатор, заряженный до значения напряжения.

Ток в цепи .

Составляем уравнение по второму закону Кирхгоффа, так как источников в цепи нет, то

0=U_C+U_R

RCрешением уравнения будет

U_c=U_cприн+U_ccв

Так как через t=∞ конденсатор полностью разряжается,U_сприн=0.

Определим U_ссв:

0=RC

U_ссв= А=, где τ=RC, из математикиU_ссви, на основании этого производим замену и получаем:

0=RCp+1, следовательноp=-

U_ссв=

Находим параметр А, используя второй закон коммутации

U_c-(0)=U_c+(0)

U_c-(0)=U

Находим значение напряжения в первый момент после коммутации:

U_c+(0)=U_{с пр}(0)+U_{с св}(0)=0+Аe⁰=U

A=U

Следовательно:

U_{с св}=Ue

Тогда закон изменения напряжения на конденсаторе при его разряде:

U_c=U_{c пр}+U_{с св}=0+Ue=Ue

I_разр=С

i_разр= -Ie- закон изменения разрядного тока

Построим зависимостиU_c(t):

t=0Uc=U

t=Uc=0,37U

t=2Uc=0,137U

t=3Uc=0,05U

t=4Uc=0,018U

t=4,6Uc=0,01U

Через время переходного процесса 4,6τ напряжение на конденсаторе будет близко к нулю.

Физический смысл τ при разряде конденсатора – это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в 2,7 раза(или e) по сравнению с первоначальным.

Задача 1: Напряжение на зажимах цепи 300 В, емкость конденсатора 100 мкФ, сопротивления 20, 80, 50 Ом соответственно, определитьU_c(t) для цепи представленной на рисунке.

Задача 2: Е=75 В, сопротивления соответственно 75, 15 и 10 Ом,L=10 мГн. Найтиi(t) для данной схемы.