Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду ()

В некоторых схемах, например, в мостовых, возникает необходимость преобразовать треугольник сопротивления в эквивалентную звезду.

При таком преобразовании напряжение между узлами не должны изменяться и токи в неизменной части схемы не должны изменяться.

Исходя из этих предпосылок, получаем формулу преобразования треугольника сопротивления в эквивалентную звезду.

Сопротивления луча эквивалентной звезды равняется произведению сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к той же вершине, что и луч звезды, делённому на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.

Рассмотрим этот метод на конкретной мостовой схеме.

Заменим в эквивалентную

Пример решения задачи

Дано:

U = 56 В

R₁=R₂=40Ом

R₃ = 35 Ом

R₄ = 10 Ом

R₅ = 50 Ом

Найти: I_1-5=?

1) Изобразим преобразованную схему и рассчитаем ее.

I=IA

U_ОД = I∙R_ОД = 2∙24 = 48 В

2) Направляем токи в первоначальной схеме от плюса источника к минусу, в R₅ ток направляем произвольно;

3) Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, для треугольника, который не заменяем.

0 = I₂∙R₂ - I₃∙R₃ + I₅∙R₅

I₂∙R₂ - I₃∙R₃ = - I₅∙R₅ 0,3∙40-1,2∙35 = -I₅∙50

32 - 84 = -I₅∙50 I₅ = 0,2A

3) Чтобы найти I₁ и I₄ составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов В, С.

I₁ + I₅ - I₂ = 0 (B)

I₁ = I₂ - I₅

I₁ = 0,8 - 0,2 = 0,6A

I₅ + I₃ + I₄ = 0 (C)

I₄ = I₃ + I₅

I₄ = 1,2 + 0,2 = 1,4A

Пример решения задачи

Дано:

U =200

R₁ = 10 Ом

R₂ = 70 Ом

R₃ = 20 Ом

R₄ = 130 Ом

R₅ = 30 Ом

R₆ = 10 Ом

Найти: I_1-6, - ?

R_4B = R_B + R₄ = 2 + 130 = 132 Ом

R_C5 = R_C + R₅ = 14 + 30 = 44 Ом

R_вх = 33 + 10 + 7 = 50 Ом

I=I₆=4A

U_ОД = I∙R_ОД = 4∙33 = 132 В

0 = -I₃∙R₃ + I₄∙R₄ - I₅∙R₅

I₃∙R₃ = I₄∙R₄ - I₅∙R₅

I₃∙20 = - 1∙130-3∙30

I₃∙20 = 40

I₃ = 2A

(В) I₁ - I₃ - I₄ = 0

I₁ = I₄ + I₅ = 1 + 2 = 3A

(C) I₂ + I₃ - I₅ = 0

I₂ = I₅ - I₃ = 3 - 2 = 1A

Расчет потенциалов точек цепи

Чтобы найти ток в цепи с несколькими источниками надо:

1) Сложить все Е, направленные в одну сторону;

2) Вычесть все Е, направленные в другую сторону

3) Разделить на сумму всех сопротивлений цепи

Ток течет в сторону большей суммы Е.

Пусть Е₁ > Е₂, тогда

Если ток и ЭДС совпадают по направлению, то источник работает в режиме генератора, если нет, то в режиме потребителя.

Е₁ - генератор; Е₂ - потребитель

Потенциалом точки цепи называется напряжение между данной точкой и заземлённой.

φ₀ = 0

При переходе через источник в режиме генератора потенциал повышается на величину ЭДС минус падение напряжения внутри источника.

φ_А = φ₀ + Е₁ - I∙R_i1

При переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжений в нём:

φ_В = φ_А - I∙R

При переходе через источник в режиме потребителя потенциал понижается на величину ЭДС и на величину падения напряжения внутри источника.

φ₀ = φ_B - E₂ - I∙R_i2

Потенциальная диаграмма - это график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивления цепи.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на конкретном примере. Одну точку цепи заземляем. Расставляем точки вдоль направления тока. При расчете снова должен получиться равным нулю

Пример решения задачи:

Дано:

Е₁ = 25 B

Е₂ = 35 В

Е₃ = 18 В

R_i1 = 2 Ом

R_i2 = 1 Ом

R_i3 =2 Ом

R₁ = 12 Ом

R₂ = 5 Ом

R₃ = 14 Ом

R₄ = 6 Ом

1) Рассчитаем ток в цепи и определяем его направление:

A

2) Рассчитаем потенциалы точек:

φ₀ = 0

φ₁ = φ₀ - I∙R₁ = 0 - 12 = -12 B

φ₂ = φ₁ + Е₁ - I∙R_i1 = -12 + 25 - 2 = 11 B

φ₃ = φ₂ - I∙R₂ = 11 - 5 = 6 B

φ₄ = φ₃ + E₂ - I∙R_i2 = 6 + 35 - 1 = 40 B

φ₅ = φ₄ - E₃ - I∙R_i3 = 40 - 18 - 2 = 20 B

φ₆ = φ₅ - I∙R₃ = 20 - 14 = 6 B

φ₀ = φ₆ - I∙R₄ = 6 - 6 = 0

Вывод: При переходе через резистор потенциал понижается плавно, через источник в режиме генератора резко увеличивается, а в режиме потребителя резко уменьшается.

Тестовые задания:

Задание	Варианты ответов
1.Являются ли напряжение между данной точкой цепи и заземленной потенциалом точки этой цепи?	Да; Нет.
2. Источник работает в режиме генератора если…	а) ЭДС и ток направлены в разные стороны; б) ЭДС и ток направлены в одну сторону.

РАБОТА ИСТОЧНИКА НА НАГРУЗКУ С ПЕРЕМЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ.

Построение зависимостей I, U, η = F(R).

Пусть сопротивление нагрузки изменяется от R_кз=0 до R_xx=. Рассмотрим величину тока в трех режимах короткое замыкание, холостой ход и согласованный режим.

1) I_кз = =

2) I_хх =

3)

Вывод 1: с ростом величины сопротивления ток в цепи уменьшается;

Вывод 2: ток максимальный в режиме короткого замыкания;

Рассмотрим величину напряжения в трех режимах

1) U_кз =

2)

3)

Вывод 1: с ростом величины сопротивления напряжение на зажимах источника растет;

Вывод 2: напряжение максимально в режиме Х.Х.

Рассмотрим величину К.П.Д. в трех режимах

Вывод: η стремиться к 1 в режиме Х.Х., но использовать на практике этот режим невозможно, так как цепь разомкнута.

Построение зависимостей P_u, P_н = F(R)

Рассмотрим величину мощности источника в трех режимах

P_u = E∙I = E∙

Вывод: мощность источника максимальна в режиме короткого замыкания.

Рассмотрим величину мощности нагрузки в трех режимах

Исследуя функцию P_н = f(R) на экстремум доказано, что максимальная мощность выделяется в нагрузке при согласованном режиме. Поэтому линии связи и другие устройства работают в этом режиме. И хотя η = 50%, но в слаботочных цепях это не имеет значения.

Тестовые задания:

Задание	Режим работы	Варианты ответов
4.Укажите при каких режимах работы перечисленные в ответах величины максимальны.	1) режим холостого хода; 2) режим короткого замыкания; 3) согласованный режим.	а) мощность источника; б) ток цепи; в) мощность нагрузки напряжение на зажимах источника.