19.1 Анализ переходных процессов при включении rl цепи

на постоянное напряжение.

Пусть ключ находится в положении 1. До коммутации , то есть в интервале от t= до t=-0 ключ был разомкнут, источник отключен, ток в цепи равен нулю и напряжение на всех элементах равно нулю.

Уравнения для определения тока в переходном режиме следует составлять для состояния цепи после коммутации.

Ключ в положении 1:

По второму закону Кирхгоффа: U_вх =U_R+U₁

Выразим: U_R=Ri U_вх=U, следовательно U_L=L

- дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью.

Решением такого уравнения будет сумма двух решений - общего и частного.

В электронике i=i_вын+i_св

Чтобы определить вынужденную составляющую искомой переменной величины, следует все производные положить равными нулю и решить получившиеся уравнения (использовать определение принужденной составляющей).

Если , то по окончании переходного процесса в цепи установится ток , так как X_L при постоянном токе равно нулю, а сопротивление всей цепи равно R.

Свободной называется составляющая тока изменяющаяся по такому закону, который обуславливается свойствами самой системы, а не какими-либо внешними воздействиями или причинами.

Чтобы определить законы свободной составляющей, следует в уравнении исключить внешнее воздействие, то есть положить U=0 и решить получившееся уравнение.

Решением данного уравнения будет , где А – постоянная интегрирования;

р – корень характеристического уравнения цепи;

Чтобы его найти произведем замену:

i_св на 1.

Величина - постоянная времени цепи RL.

,

Чтобы найти А, воспользуемся первым законом коммутации:

i-(0)=i+(0).

Запишем значения тока в первый момент времени после коммутации:

i+(0)=

Значение тока в последний момент перед коммутацией:

i-(0)=0, так как ключ был разомкнут и в цепи ток не протекал.

Так как i-(0)=i+(0), то

Значит:, следовательно

- уравнение тока при включении RL цепи на постоянное напряжение.

Постоянной времени цепи называется время, за которое свободная составляющая тока или напряжения уменьшается в е раз, или это время, за которое ток достигает значения 0,63 от установившегося.

Если , то =0,63I

Можно рассчитать, что ток достигает 99% установившегося значения через время равное 4,6, то есть t_пер.пр.=4,6.

19.2 Отключение RL цепи от источника постоянного напряжения.

Пусть ключ находится в положении 2.

В данном случае ток устанавливающегося режима в катушке, не поддерживаемый ЭДС источника электрической энергии, начинает уменьшаться. При этом уменьшается магнитный поток катушки и в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая имеет одно направление с током, следовательно, ток уменьшается не мгновенно, а за некоторое время переходного процесса.

Ток переходного процесса равен нулю , так как через бесконечно большое время, тока в цепи не будет.

Для нахождения , составляем уравнение по второму закону Кирхгоффа и приравниваем входное уравнение к нулю, так как его и нет в цепи.

, где - постоянная времени.

Решение дифференциального уравнения : .

Найдем параметр А, используя первый закон коммутации.

Найдем значение тока в первый момент после коммутации:

- используя первый закон коммутации.

Тогда уравнение тока при отношении цепи:

Если t=, то определение смотри выше.

Чем больше ,тем медленнее идет переходной процесс.

Постоянная времени определяется параметрами всех элементов, входящих в цепь.

Построим зависимость i(t).

4

Задачи:

1. Рассчитать , если сопротивление 10 Ом, индуктивность 1 Гн (отключ. от постоянного источника напряжения), ток 10 А, i_τ=3,7А.

2. Рассчитать и найти сопротивление R, если напряжение U=50 В, индуктивность L=6 Гн (включ.), t=0,25 c, i=0,9I

Тема занятия 20: Переходные процессы в RC цепи.

20.1 Заряд конденсатора.

При замыкании ключа конденсатор заряжается до напряжения источника, в цепи возникает переходной процесс.

U=U_R+U_c=R_I+U_C – второй закон Кирхгоффа. При последовательном соединении элементов напряжение на зажимах равно сумме напряжений на участках цепи.

i=CdU_c/dt;

U=RCdU_c/dt+U_C – дифференциальное уравнение.

Его решение U_C=U_Cприн+U_Ссв

τ =RC

При t=∞ переходные процессы заканчиваются , напряжение на конденсаторе не изменится и становится постоянным dU_c/dt=0, следовательно из выражения

U=RCdU_c/dt+U_C получаем U_{с вын}=U.

По окончании переходного процесса постоянный ток перестает протекать через емкость, падение напряжения на сопротивлении становится равным нулю и напряжение на конденсаторе оказывается равным напряжению источника.

Определим свободную составляющую напряжения на конденсаторе. Приравняем дифференциальное уравнение к нулю:

RCdU_c/dt+U_C=0

P+- характеристическое уравнение, следовательно

.

Решение уравнение:

U_{с св}=Аe, то есть Uc=U+Ae

Найдем параметр А. Воспользуемся вторым законом коммутации.

U_c-(0)=U_c+(0)

U_c-(0)=0, так как цепь была разомкнута.

В первый момент после коммутации:

U_c+(0)=U_{c прин}(0)+U_ссв(0)=U+Ae⁰=U+A=0

A=-U

U_ссв=-Ue

Тогда : закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде будет иметь вид

U_c=U_cприн+U_ссв=U-Ue=U(1-e)

Так как ток зарядки , то

- закон изменения зарядного тока.

U_c=f(t)- построим эту зависимость:

t=0 Uc=0

t= Uc=0,63U

t=2 Uc=0,86U

t=3 Uc=0,95U

t=4 Uc=0,98U

t=4,6 Uc=0,99U

Физический смысл при заряде конденсатора – это время, за которое напряжение на конденсаторе достигает значения 0,63 от установившегося значения U.

20.2 Разряд конденсатора

Ключ находится в положении 2, то есть уже имеется конденсатор, заряженный до значения напряжения.

Ток в цепи .

Составляем уравнение по второму закону Кирхгоффа, так как источников в цепи нет, то

0=U_C+U_R

RC решением уравнения будет

U_c=U_cприн+U_ccв

Так как через t=∞ конденсатор полностью разряжается, U_сприн=0.

Определим U_ссв:

0=RC

U_ссв= А=, где τ=RC, из математики U_ссв и , на основании этого производим замену и получаем:

0=RCp+1, следовательно p=-

U_ссв=

Находим параметр А, используя второй закон коммутации

U_c-(0)=U_c+(0)

U_c-(0)=U

Находим значение напряжения в первый момент после коммутации:

U_c+(0)=U_{с пр}(0)+U_{с св}(0)=0+Аe⁰=U

A=U

Следовательно:

U_{с св}=Ue

Тогда закон изменения напряжения на конденсаторе при его разряде:

U_c=U_{c пр}+U_{с св}=0+ Ue= Ue

I_разр=С

i_разр= -Ie - закон изменения разрядного тока

Построим зависимости U_c(t):

t=0 Uc=U

t= Uc=0,37U

t=2 Uc=0,137U

t=3 Uc=0,05U

t=4 Uc=0,018U

t=4,6 Uc=0,01U

Через время переходного процесса 4,6τ напряжение на конденсаторе будет близко к нулю.

Физический смысл τ при разряде конденсатора – это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в 2,7 раза(или e) по сравнению с первоначальным.

Задача 1: Напряжение на зажимах цепи 300 В, емкость конденсатора 100 мкФ, сопротивления 20, 80, 50 Ом соответственно, определить U_c(t) для цепи представленной на рисунке.

Задача 2: Е=75 В, сопротивления соответственно 75, 15 и 10 Ом, L=10 мГн. Найти i(t) для данной схемы.

Тема занятия 21: Переходные процессы в цепях второго порядка.

Цепи второго порядка – это цепи, свободные процессы, в которых описываются дифференциальные уравнения второго порядка.

Цепями второго порядка являются цепи с двумя накопителями энергии.

Пусть до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения U₀.

Запишем второй закон Кирхгоффа после коммутации:

U_C+U_L+U_R=0

U_R=R_i U_L=L U_C+R_i+L=0

- подставляем в уравнение

U_C+LCRC=0 разделим на величину LC,

U_{C ПР}=0, то есть конденсатор в замкнутом контуре полностью разряжается.

U_C=U_{C CВ}

Определим ее:

Составим характеристическое уравнение:

k²+Rk/L+1/LC=0 – решением уравнения будет

U_C=A₁e+A₂e, где k₁ и k₂ – корни характеристического уравнения

При этом может оказаться три случая:

1. R<2ρ – цепь с малым затуханием

2. R>2ρ – цепь с большим затуханием

3) R=2ρ

Обозначим , получим:

Если подставить в выражение U_C=A₁e+A₂e и учесть два закона коммутации, то

- начальная фаза свободных колебаний

Построим график зависимости свободных затуханий от времени переходного процесса:

Затухающая синусоида

Количество колебаний, совершаемых свободной составляющей за время переходных процессов равное Q.

21.1 Единичная функция

Единичной функцией называется скачкообразное изменение напряжения от 0 до 1.

Обозначают σ () или 1(t).

Физически подключение цепи к источнику постоянного напряжения 1В есть воздействие в виде единичной функции.

σ(t)=1 – во временном виде

σ(p)=1/p – в оперативном виде.

21.2 Импульсная функция

δ(t) (дельта-функция) – есть производная от единичной функции, т.е. δ(t)=

В операторном виде

Разберем форму дельта-функции. До момента, когда единичная функция равна нулю

σ(t)=0, тогда =0 то есть δ(t)=0.

В момент, когда единичная функция скачком изменит свое значение, при этом угол увеличится до 90⁰, , где - угол наклона функции.

Дельта-функция стремится к бесконечности, но через бесконечно малое время =0, следовательно через δ(t)0. Площадь дельта-функции равна единице.

Таким образом импульсной функцией называется сигнал с бесконечно большой амплитудой, бесконечно малой длительностью, и площадью равна единице.