Изучение законов идеального газа Введение

Уравнение состояния идеального газа.Пусть в некотором сосуде содержится газ, масса которого равна. Состояние газа определяется занимаемым им объемом, давлениеми температурой. Эти параметры называюттермодинамическими. В случае изменения термодинамических параметров говорят, что происходит термодинамический процесс. Эксперименты показывают, что изменение одного из термодинамических параметров приводит к изменению других параметров, то есть термодинамические параметры взаимосвязаны. Уравнение, определяющее эту взаимосвязь, называетсяуравнением состояния. Наиболее простым уравнением состояния являетсяуравнение Менделеева – Клапейрона:

, (1)

где – универсальная газовая постоянная;– молярная масса газа; отношениеравно числу молей газа.

Уравнение (1) называют также уравнением состояния идеального газа. Реальные газы подчиняются уравнению (1), если они не слишком сильно сжаты (давление не превышает десятка атмосфер) и не слишком сильно охлаждены (температура близка к нормальной (0 ^оС) либо превышает ее). В этом случае газ можно считать идеальным.

С молекулярной точки зрения газ является идеальным, если расстояние между молекулами во много раз превышает размеры молекул. Молекулы идеального газа взаимодействуют между собой только при соударении, причем соударения носят абсолютно упругий характер. Между соударениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно.

Степени свободы.Поступательное движение молекулы можно разложить на три независимых поступательных движения вдоль осей декартовой системы координат. Число независимых движений, в которых может участвоватьмолекула, называется числом степеней свободы молекулы и обозначается через . С математической точки зрения число степеней свободы равно числу независимых параметров, необходимых для определения положения молекулы в пространстве. Молекулу одноатомного идеального газа можно рассматривать как материальную точку. Её положение в пространстве определяется тремя декартовыми координатами (х,у, z) и, следовательно, она имеет три степени свободы.

Молекула двухатомного газа помимо поступательного движения может участвовать во вращательном движении. Это движение раскладывается на два независимых вращения вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проведенных через центр инерции молекулы перпендикулярно линии, соединяющей атомы молекулы. Таким образом, двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы – 3 поступательные, определяющие положение центра инерции молекулы, и 2 вращательные. Если молекула состоит из трех или большего числа атомов,то её вращение можно представить в виде суммы вращений относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проведенных через центр инерции молекулы. Такие молекулы имеют 6 степеней свободы – 3 поступательные и 3 вращательные. Атомы, входящие в состав многоатомных молекул, могут совершать колебания около положения равновесия. В этом случае молекула, помимо поступательных и вращательных степеней свободы, обладает колебательными степенями свободы. Колебания молекул эффективно возбуждаются при высоких температурах. При температурах близких к нормальной можно считать, что атомы в молекулах связаны жестко и колебательные степени свободы отсутствуют.

Внутренняя энергия Uидеального газа включает только кинетическую энергию поступательного и вращательного движения всех его молекул, поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю. В результате соударений величина и направление скоростей поступательного и вращательного движения молекулы, а следовательно, и её кинетическая энергия, изменяются случайным образом. Однако средняя кинетическая энергия каждой молекулы есть величина постоянная, прямо пропорциональная абсолютной температуре газа . В силу полной хаотичности движения все степени свободы являются равноправными в том смысле, что на каждую степень свободыi приходится одинаковая кинетическая энергия, равная , где коэффициент Дж/К называется постоянной Больцмана. Это утверждение носит названиезакона равнораспределения энергии по степеням свободы. Таким образом, внутренняя энергия некоторой массы газат, состоящей изN молекул, равна

, (2)

где моль^-1– число Авогадро, равное числу молекул в одном

моле газа.

При получении последнего равенства в цепочке равенств (2) использовано соотношение kN_A = R, которое связывает важнейшие постоянные молекулярной физики. Как следует из (2), внутренняя энергия для данной массы газа зависит только от температуры и меняется при изменении температуры, т.е.

. (3)

Первое начало термодинамики.Согласно первому началу термодинамики, подводимое к газу количество теплотыdQ идет на изменение его внутренней энергииdU и на совершение газом работыdA против внешних сил. Математическое выражение этого закона имеет вид

dQ=dU + dA. (4)

Работа, совершаемая при малом изменении объема dV, равна

dA = pdV. (5)

Количество теплоты, подведенное к газу при изменении его температуры наdT, пропорционально массе газа и изменению температуры, т.е.

. (6)

Здесь величины с иС = cm называются удельной (с) и молярной (С) те-плоемкостями. Они численно равны количеству теплоты, которое необходимо сообщить единице массы (удельная теплоемкость) и одному молю вещества (молярная теплоемкость), чтобы повысить их температуру на 1 K. Теплоемкость газа зависит от процесса, в котором участвует газ. На практике важную роль играют газовые процессы, при которых изменяются только два термодинамических параметра при неизменном третьем. Такие процессы называютсяизопроцессами.

Изотермический процесс – это процесс, в ходе которого температура газаостается постоянной, т.е. Т = const, dT = 0.

Как следует из (1), уравнение изотермического процесса имеет вид (закон Бойля-Мариотта).

При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменяется, и первое начало термодинамики принимает вид dQ =dA, т.е. подводимое тепло полностью идет на совершение работы газом.

Изохорический процесс – это процесс, протекающий при неизменномобъеме (, dV = 0).Уравнение этого процесса, как следует из (1), имеет вид . При изохорическом процессе газ не совершает работы, и первое начало термодинамики принимает видdQ = dU. Это означает, что подводимая к газу теплота полностью идет на изменение его внутренней энергии. Подставляя в это равенство выражения дляdU из (3) иdQ из (б), получим:

,, (7)

где и– соответственно удельная и молярная теплоемкости при изохорическом процессе.

Изобарический процесс – это процесс, протекающий при постоянном давлении (р = const, dp = 0). Как следует из (1), уравнение изобарического процесса для идеального газа имеет вид (закон Гей-Люссака).

При изобарическом процессе подводимая теплота идет как на увеличение внутренней энергии, так и на совершение газом работы. Преобразуем выражение (5) для работы с учетом того, что :

. (8)

Последнее равенство в этой цепочке равенств получается, если взять дифференциал от правой и левой частей уравнения (1). Подставляя соотношения (3), (6), (8) в (4), после несложных преобразований получим выражения для теплоемкостей газов при изобарическом процессе:

,. (9)

Отсюда видно, что теплоемкость в изобарическом процессе больше, чем теплоемкость в изохорическом процессе.

Адиабатический процесс – это процесс, при котором теплота к газу не подводится и не отнимается от него, т.е. процесс протекает без теплообмена системы с окружающей средой. В этом случае первое начало термодинамики принимает вид , или

, (10)

то есть газ совершает работу только за счет убыли внутренней энергии.

Для получения уравнения адиабаты, продифференцировав уравнение Менделеева-Клапейрона, имеем

.

Разделим последнее равенство на уравнение (10):

.

Разделив переменные и учитывая, что , находим

.

Интегрируя это уравнение в пределах от до и соответственно от до , a затем, потенцируя, приходим к выражению

или

.

Так как состояния выбраны произвольно, то можем записать

. (11)

Это и есть уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона). В нем – безразмерная величина, называемая показателем адиабаты.

9