laborat / 1.6.ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

кафедра математики и физики

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.6

по дисциплине

«ФИЗИКА»

для студентов всех специальностей

Минск 2006

Составитель: Ж.П. Лагутина

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

24 апреля 2006 г., протокол №9

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теорией гармонических колебаний

2. Определить приведенную длину оборотного маятника

3. Рассчитать ускорение свободного падения

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Физический маятник на кронштейне (оборотный маятник); секундомер, призма на подставке, масштабная линейка.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Колебания – это повторяющиеся ограниченные движения относительно некоего состояния, которое в частном случае может быть состоянием равновесия. Такое определение включает весьма широкий круг явлений, встречающихся в природе, изучаемых физиками и находящих многочисленные применения в технике. Предметом теории колебаний является рассмотрение общих закономерностей процессов в различных динамических системах.

Изучение любого колебательного процесса начинается с идеализации реальной системы, то есть построения ее физической модели. Затем для выбранной модели записываются уравнения, которые устанавливают связь между параметрами колебательной системы и ее колебательными характеристиками.

Простейший математический аппарат теории колебаний – дифференциальные уравнения в обыкновенных производных. Методы теории колебаний – это методы анализа дифференциальных уравнений, описывающих модели реальных систем. Справедливость принятой физической модели оценивается сравнением результатов теории, построенной на основании данной системы, с поведением реальной системы.

Простейшим типом периодических процессов являются гармонические колебания. Гармонические колебания возникают при действии на тело квазиупругой силы (рис. 1, 2).

Уравнение динамики гармонических колебаний (свободных) материальной точки или твердого тела массой имеет вид:

, (1)

где – ускорение колеблющегося тела; – упругая сила, под действием которой происходит гармоническое колебание; – коэффициент жесткости пружины, ; – смещение тела от положения равновесия.

Разделив выражение (1) на массу и обозначив , получим

(2)

 дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Решением дифференциального уравнения (2) является выражение

или , (3)

Выражения (3) представляют собой кинематические уравнения гармонического колебания, показывающие зависимость смещения от времени ( – амплитуда колебаний (максимальное смещение); – круговая (циклическая) частота; – фаза колебания; – начальная фаза колебания).

Собственная частота гармонических колебаний определяется динамическими характеристиками колебательной системы. Например,

– для пружинного маятника

, (4)

. (5)

где – период колебаний (время одного полного колебания).

– для математического маятника

, (6)

. (7)

где – ускорение свободного падения; – длина маятника.

Абсолютно твердое тело произвольной формы, совершающее колебания под действием силы тяжести (квазиупругой силы) вокруг горизонтальной оси (рис. 3), не проходящей его центр тяжести, представляет собой физический маятник.

Рис. 3

Собственные колебания физического маятника происходят под действием вращающего момента силы тяжести. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

, (8)

где – момент силы тяжести; – расстояние от оси, относительно которой происходит гармоническое колебание, до центра тяжести физического маятника (точка ); – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку .

Модуль момента сил равен

.

В случае малых отклонений маятника от положения равновесия можно принять, что и, учитывая, что при отклонении маятника от положения равновесия, направление силы, возвращающей маятник в положение равновесия, противоположно смещению, то момент этой силы необходимо взять со знаком «минус», и окончательно получим выражение

. (9)

Подставляя полученное выражение в формулу (8) и учитывая, что угловое ускорение , получим

или

. (10)

Обозначая , получаем уравнение

. (11)

Уравнение (11) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Решением этого уравнения является выражение

, (12)

где – собственная частота колебаний физического маятника.

Используя связь между циклической частотой гармонических колебаний и периодом , получим, что период колебаний физического маятника равен

. (13)

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, то есть

– математический маятник;

– физический маятник.

Приравнивая периоды, получим

,

откуда определим приведенную длину физического маятника

, (14)

где – момент инерции тела относительно побочной оси, проходящей через точку ; – момент инерции тела относительно точки ; – расстояние от оси вращения до точки ; – масса тела, то есть получим

. (15)

Формулу периода колебаний физического маятника можно представить в виде

. (16)

Точка (рис. 3), лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника , называется центром качания физического маятника. Центр качания и точка подвеса обладает свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку , то точка будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Это свойство физического маятника демонстрируется с помощью так называемого оборотного маятника, который служит, в частности, для определения ускорения свободного падения в данной точке поверхности Земли. Для этого нужно на опыте определить , приведенную длину и воспользоваться формулой для периода колебаний . Тогда ускорение свободного падения можно рассчитать по формуле

. (17)

Оборотный маятник состоит из длинной металлической штанги (рис. 4), на которой укрепляются две опорные призмы и и два груза ( и ) (массы грузов разные). Призмы и грузы крепятся на штанге при помощи упорных винтов.

Освобождая соответствующий винт, призму или груз можно перемещать по штанге. Это приведет к изменению положения центра тяжести системы (точки ) и изменению расстояний и (, – расстояния от осей вращения до центра тяжести маятника (рис. 4)), – расстояние между призмами.

С изменением будет изменяться и период колебаний физического маятника (формула (13)).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Расположить призмы и вблизи грузов и и закрепить винтами.

2. Измерить расстояние между призмами .

3. Подвесить маятник на призму (рис. 4). Отклонить маятник на угол не более и по секундомеру определить время не менее полных колебаний.

По полученным данным рассчитать период колебаний

. (18)

4. Снять маятник и установить его на призму . Отклонить маятник на угол не более и по секундомеру определить время полных колебаний.

По полученным данным рассчитать период колебаний

. (19)

5. Снять маятник, положить его горизонтально на стол и переместить призму на 3–5 см от расположенных грузов и .

6. Измерить расстояние между призмами .

7. Подвесить маятник на призму , определить по формуле (18). Число колебаний можно оставить прежним (), но можно и изменить (см. пункт 2).

8. С новым расположением призмы определяем период колебаний (см. пункт 3).

9. Изменять положения призм ближе к центру маятника необходимо не менее 5 раз, каждый раз измеряя расстояние между призмами и определяя периоды колебаний и . Запись результатов измерений и вычислений производится в таблице.

№ п/п
1
2
3
4
5

10. Построить график зависимости и (на одном графике).

Рис. 5

По точке пересечения зависимостей и определить приведенную длину и соответствующий период колебаний .

11. Рассчитать значение ускорения свободного падения по формуле (17).

12. Рассчитать приборную погрешность :

1) преобразуем выражение (17) так, чтобы туда входили только измеряемые величины

,

где – время, необходимое маятнику для совершения полных колебаний.

1) полученное выражение прологарифмируем

;

2) продифференцируем полученное выражение

;

3) заменив на , получим

, (20)

поскольку число полных колебаний маятника можно подсчитать точно.

Формула (20) позволяет определить относительную погрешность ускорения свободного падения, зная относительные погрешности прямых измерений и .

Измерение приведенной длины производится линейкой с ценой деления 1 мм.

Следовательно, абсолютная погрешность будет равна половине цены деления линейки, то есть  м; определяется погрешностью конкретного секундомера.

По формуле (20) рассчитывается относительная погрешность

.

Из полученного выражения рассчитываем

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие колебательные процессы называются гармоническими? Как записываются динамический и кинематический законы гармонических колебаний?

2. Дайте определение величин, характеризующих гармонические колебания: периода и частоты; циклической частоты; амплитуды; фазы и начальной фазы. В каких единицах измеряются эти величины?

3.  Материальная точка движется вдоль оси по закону . Постройте графики: а) точка по оси , скорости и ускорения в зависимости от времени ; б)  и в зависимости от .

4. Получите выражения для кинетической, потенциальной и полной энергии гармонического колебания. Изобразите графически их зависимости от времени и смещения .

5. Какой маятник называется пружинным, математическим и физическим?

6.  Выведите формулы, определяющие периоды колебаний этих маятников: ; ; .

7.  Что называется приведенной длиной физического маятника? Как определялось значение приведенной длины физического маятника?

8. Какова методика определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника?

ЛИТЕРАТУРА

1 И.В. Савельев. Курс физики, т.2. М.: Наука, 1989, §63 – 65

2 И.И. Наркевич, Э.И. Волмянский, С.И. Лобко. Физика. Учебник. Мн.: ООО Новое знание, 2000, §7.1

2