Вопрос 3. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, чтобы компенсировать потери на джоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (ε = ε₀cosωt) или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = U_m cosωt) (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (2.3) примет вид

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = U_m cosωt (2.20)

– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.

Как известно, общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

общего решения однородного дифференциального уравнения вида (2.9) и

частного решения неоднородного дифференциального уравнения (2.20).

Первое слагаемое быстро затухает, его время релаксации τ = 1/β. Поэтому при вклад в решение (2.20) дает только частное решение (второе слагаемое). Поэтому вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

q = q_mcos(ωt - ψ). (2.21)

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2.21), где ψ – сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

tg ψ = R/(1/ωC – ωL).

Продифференцировав выражение (2.21) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

I = - ωq_m sin(ωt - ψ) = I_m cos(ωt - ψ + π/2),

где амплитуда силы тока в контуре

,

R_L = ωL – реактивное индуктивное сопротивление,

R_C = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление,

Х = ωL – 1/ωC – реактивное сопротивление,

Z =

– полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты ω.

Выражение для силы тока можно записать также в виде

I = I_m cos(ωt - φ), (2.22)

где φ = ψ – π/2 –сдвиг по фазе между током в контуре и приложенным напряжением, а

tgφ = tg(ψ – π/2) = –1/tgψ = (ωL –1/ωC)/R. (2.23)

Разделив выражение (2.21) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

U_C = (q_m/C) cos(ωt - ψ) = U_Cmcos(ωt – φ –π/2), (2.24)

где

U_Cm = q_m/C = U_m/ωC=I_m/ωC. (2.25)

Умножив производную функции (2.22) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

U_L = L(dI/dt) = – ωLI_msin(ωt – φ) = U_Lmcos(ωt – φ + π/2), (2.26)

где U_Lm = ωLI_m.

Выражение (2. 20) можно представить в виде

, (2.27)

где ,,– соответственно напряжения на активном сопротивленииR, на конденсаторе С и на индуктивности L. Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешнему напряжению (рис. 2.5).

Сравнивая (2.22), (2.24) и (2.26) видим, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от силы тока в контуре на π/2, а напряжение на катушке индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов (рис. 2.6). Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание переменного электрического тока с частотой ω в цепи, содержащей L, C и R.

Рис. 2.6

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колеблющейся величины, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. В качестве таковой возьмем ось токов. Тогда получится диаграмма, приведенная на рис. 2.6. Согласно (2. 27) величины где ,ив сумме должны быть равны приложенному напряжениюU. В соответствии с этим напряжение U на рис. 2.6 изображается вектором, равным сумме векторов ,и.