Вопрос 3. Применение уравнения Шрёдингера к свободному электрону.

Рассмотрим применение уравнения Шрёдингера к свободной частице, движущейся вдоль оси ОX, например, к свободному электрону, т.е. к электрону, не испытывающему действия внешних полей. В этом случае потенциальная энергия свободно движущейся частицы U = 0, и уравнение Шрёдингера принимает вид:

.

Согласно гипотезе де Бройля движение такого микрообъекта моделируется плоской монохроматической волной, занимающей все пространство:. Для свободной частицы, движущейся вдоль осиОX волновая функция будет иметь следующий вид:

, (21.10)

где -амплитуда волны. Круговая частота ω и волновое число k связаны с полной энергией Е и импульсом p соотношениями: Е = ћω; p = ћk, отсюда ω =; k = .Тогда волновая функция (21.10) принимает вид:

. (21.11)

Не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства означает, что все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Покажем что данный вид - функции удовлетворяет уравнению Шрёдингера (21.4). Для этого:

1). Найдем ∆ и выразим p²:

,

(21.12)

2). Найдем и из полученного выражения определим энергиюЕ:

.

3). Подставим значения Е и p в соотношение =:

, или

­−.

→. Полученное соотношение совпадает с уравнением Шрёдингера (21.7) для случая U=0.

Собственным значением энергии волновой функции (21.10), (21.11) является .

Так как волновое число k может принимать любые значения k > 0, то и энергия свободной частицы может принимать любые значения, следовательно, ее энергетический спектр является непрерывным.

Обоснуем справедливость вида волновой функции (21.10) и для случая движения частицы в силовом поле, то есть, когда потенциальная энергия частицы U ≠ 0. В этом случае выражение

определяет энергию движения частицы (аналог кинетической энергии в классической механике). После подстановки значений Е и p получаем:

ħ.

Полученное выражение совпадает с уравнением Шрёдингера (21.7) для частицы, движущейся в силовом поле.

Вопрос 4. Частица в потенциальной яме. Квантование энергии.

Простейшим примером пространственно-ограниченного движения является одномерное движение квантовой частицы в силовом поле, имеющем вид очень глубокой потенциальной ямы с вертикальными стенками, график потенциальной энергии частицы U(x) имеет вид, показанный на (рис 21.1).

Непроницаемость стенок выражается в неограниченном возрастании U(x) в точках х=0 и х=l. Частица может находиться лишь на участке 0<x<l Значение потенциальной энергии частицы в пределах этого участка U(x)=0. Так как частица не выходит из промежутка 0<x<l, то вероятность ее обнаружения вне этого промежутка равна нулю, что возможно лишь в случае равенства нулю ее волновой функции вне этого участка. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно быть дополнено граничными условиями: (0)=0;(l)=0.

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию частицы в области 0<x<l. Пусть силовое поле не меняется с

Рис. 21.1

течением времени, поэтому воспользуемся уравнением (21.9) для стационарных состояний, которое в случае U=0 принимает вид:

. (21.13)

Введем в уравнение волновое число

(21.14)

тогда уравнение (21.13) для одномерного случая приобретет вид:

.

Общим решением данного однородного дифференциального уравнения второго порядка является волновая функция

(21.15)

где А и B - некоторые комплексные коэффициенты, не зависящие от x. Воспользуемся граничными условиями: Так как (0)=0,тоA+B=0 =>

B= -A. Выражению (21.15) придадим следующий вид:

С учетом того, что (l)=0, получим sin(kl)=0, откуда ,k=, где n=0,1,2,3,... Случай n=0 должен быть отброшен, т.к. в этом случае получается, что (х)=0, т.е. вероятность обнаружения частицы внутри потенциальной ямы равна нулю. Однако с самого начала мы полагали, что частица локализована именно в области 0<x<l. Так как волновое число k принимает дискретный набор значений, то его записывают k_n, а волновую функцию, зависящую от k_n, записывают_n. Вместо выражения 2iA удобно ввести новую комплексную постоянную С=2i A, тогда _n(х)=C sin (.

Для нахождения амплитуды С волновой функции воспользуемся условием нормировки: .

Так как , то , С=.

Таким образом,

. (21.16)

Выразив из (21.14) полную энергию частицы через волновое число, получим:

E_n = , (21.17)

где n = 1, 2, 3…. Выражение (21.17) − энергетический спектр частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. Этот энергетический спектр дискретен. Главное квантовое число n задает уровни энергии.

Из выражения (21.17) следует, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями энергии равен:

. (21.18)

Например, для электрона при размерах ямы l =10^-1 м (свободные электроны в металле) ΔE_n ≈ 10^-35 n Дж ≈10^-16 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (l ≈

10 ^-10 м), то для электрона ΔEn ≈10^-17 n Дж ≈10^-2 n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает. Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная E₁ = .

Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна: Δx = l. Тогда согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса: .

Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия

.

Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение.

Из функций (21.17) и (21.18) следует, что при больших квантовых числах (n >>1) << 1, т.е. соседние уровни расположены близко друг к другу, причем, с увеличениемn уровни сближаются. Если п очень велико, то можно говорить о непрерывной последовательности уровней, и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – становится неразличимой.

Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.

При главном квантовом числе n=1 энергия частицы минимальна и принимает значение:

E₁=. (21.19)

Отсюда следует, что микрочастица не может обладать энергией, равной нулю (т.е. частица не может находиться на дне потенциальной ямы), что означает невозможность остановки микрочастицы в классическом смысле.

Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне E_n, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

На рис. 21.2а показано расположение энергетических уровней

Рис. 21.2

частицы, которые с возрастанием n cближаются; графики собственных функций изображены на рис. 21.2б; на рис. 21.2в дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

Анализ формулы (21.17) показывает, что при больших значениях главного квантового числа n дискретность энергетических уравнений становится неразличимой и не влияет на движения электрона, т.е. происходит переход к классическому случаю. Аналогичное влияние оказывает увеличение массы микрообъекта и размеров потенциальной ямы.