Вопрос 3. Преобразования Лоренца.

Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой в классической механике находят отражение в преобразованиях Галилея, из которых следует абсолютный характер интервалов времени и расстояний между двумя любыми точками пространства (формулы записаны для случая, когда система К' движется относительно К со скоростью вдоль осиОх (рис. 15.1)):

Рис.15.1

К → К' К' → К

x' = x – Vt x = x' + Vt (15.1)

y' = y y = y'

z' = z z = z'

t' = t t = t'.

В 1904 г., еще до появления теории относительности, Х. Лоренцем при анализе явлений электромагнетизма были предложены преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны. Преобразования Лоренца для координат и времени при переходе от инерциальной системы К к системе К^′ и наоборот имеют вид:

К → К' К' → К

(15.2)

, ,

где β = V/с.

Уравнения преобразований симметричны и отличаются лишь знаком при V. Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях, т.е. при β<<1, они переходят в классические преобразования Галилея, которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. Если предположить, что V > с, то выражения (15.2) для х, t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится в соответствии с тем, что скорость света в вакууме является предельной скоростью движения.

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими принципам относительности и инвариантности скорости света.

Из преобразований Лоренца следует важные выводы.

Во-первых, как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе.

Во-вторых, как пространственные, так и временные преобразования (15.2) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Следствия из преобразований Лоренца.

1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х₁ и х₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты х₁' и х'₂ и моменты времени t'₁ и t'₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁ = х₂) и являются одновременными (t₁ = t₂), то согласно преобразованиям Лоренца (15.2),

х₁' = х'₂, t'₁ = t'₂,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х₁ ≠ х₂), но одновременны (t₁ = t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца

, ,

, , (15.3)

х'₁ ≠ x'₂ , t'₁ ≠ t'₂ .

эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Знак разности t'₂ - t'₁ определяется знаком выражения V(х₁ - х₂), поэтому в различных точках системы отсчета К' (при разных V) разность t'₂ - t'₁ будет различной по величине и по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных системах отсчета.

Пусть в некоторой точке с координатой Х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) τ = t₂ – t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К^' равна:

, (15.4)

причем началу и концу события, согласно (15.3), соответствуют значения

,. (15.5)

Подставляя (15.5) в (15.4), получаем

,

или

. (15.6)

Из соотношения (15.6) вытекает, что τ < τ^', т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени τ^' , отсчитанный по часам в системе К^', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала τ, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся, однако это замедление становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для τ и τ^' обратимы. В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» или «парадокса близнецов», вызвавшая многочисленные дискуссии. Совершив полет к звезде и вернувшись на Землю, брат-блезнец будет в раз более молодым, чем его брат, оставшийся на Земле. В действительности здесь парадокса нет. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с π- мезонами, т.е. движущихся частиц можно зафиксировать большее время жизни.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^' и покоящийся относительно системы К^'. Длина стержня в системе К^' будет l^'₀ = x^'₂ - x^'₁, где x^'₁ и x^'₂ – не изменяющиеся со временем t^' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К^' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х₂ - х₁ и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразование Лоренца (15.2), получим

,

т.е.

l^'₀ =l/ . (15.7)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Или: движущийся стержень «сокращается» в длине. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К^', опять-таки придем к выражению (15.7). В каждой системе отсчета получаем одинаковый результат; относительность длины, как и относительность времени, взаимна.

Из (15.7) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемоелоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (15.10) следует, что

y^'₂ - y^'₁ = y₂ – y₁ и z^'₂ - z^'₁ = z₂ – z ,

т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К^', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью V. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К^' в момент времени t^' – координатами x^', y^', z^', то производные

и

представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x^', y^', z^' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К^'.

Согласно преобразованиям Лоренца (15.1),

, .

Сделав соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

К^' → К К → К^'

, ,

, ,

, . (15.8)

Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то скорость U относительно системы К совпадает с U_x, а скорость относительно К^' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид:

, . (15.9)

Из (15.8) и (15.9) видно, что закон преобразования скоростей принципиально отличается от закона сложения скоростей в ньютоновой механике.

Если скорости V, U^' и U малы по сравнению со скоростью света с, то формулы (15.8) и (15.9) переходят в закон сложения скоростей в классической механике.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если U^' = с, то (15. 9) примет вид:

,

т.е. релятивистский закон сложения скоростей находится в соответствии с постулатами Эйнштейна.

Из (15.9) следует, что даже если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. Это получается, если в качестве примера взять случай U^' = V = с и подставить в (15.9), то получим, что U = с. Таким образом, при сложении скоростей результат не может превысить скорости света в вакуууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

В теории Эйнштейна (для четырехмерного пространства) реальной физической величиной, не зависящей от системы отсчета, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям координат является интервал времени между двумя событиями, такой интервал одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.