Вопрос 3. Дисперсия и разрешающая способность.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 нм). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

D = , (10.6)

где  - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на  (рис.10.6). Можно показать, что

D = m/lcosφ ≈ m/l, (10.7)

так как cosφ ≈ 1. Откуда следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки l. Чем выше порядок спектра k, тем больше дисперсия.

Рис.10.6.

Линейной дисперсией называют величину

D_лин = l /, (10.8)

где l´ − линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине на . Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией соотношением

D_лин = fD, (10.9)

где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Приняв во внимание (10.7), запишем

D_лин = fm/l. (10.10)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

R =  , (10.11)

где  - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними, которое определяется дисперсией прибора, но также и от ширины спектральных, максимумов (рис. 10.7).

Рис.10.7

Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников света или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы, если центр дифракционного пятна каждого из них пересекается с краем первого темного кольца другого. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме.

Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N:

R_{дифр. реш.} = mN, (10.12)

то есть при заданном числе щелей для увеличения разрешающей силы необходимо переходить к большему порядку дифракционного спектра. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей силой (до 210⁵).

В качестве примера на рис. 10.8 приведены дифракционные картины для двух спектральных линийλ₁ и λ₂, полученные с помощью трех дифракционных решеток с отличающимися значениями дисперсии и разрешающей силы.

Рис.10.8.

Разрешающая сила решеток 1 и 2 одинакова (у них одинаковое число щелей N), но дисперсия первой решетки меньше, чем второй, поскольку ее период меньше. Решетки 2 и 3 имеют одинаковую дисперсию, но разрешающая сила второй решетки больше, чем третьей.

При падении на объектив света от удаленного точечного источника света в фокальной плоскости объектива вследствие дифракции световых волн вместо точечного изображения наблюдается дифракционная картина в виде светового пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников света с некоторым угловым расстоянием δφ, то в фокальной плоскости объектива наблюдается наложение их дифракционных картин. Используя критерий Рэлея можно получить, что наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются объективом с фокусным расстоянием f, равно

δφ = . (10.13)

где D* – диаметр входного зрачка объектива.

Величина, обратная δφ, называется разрешающей силой (способностью) объектива

R = 1/ δφ =. (10.14)

Из формулы (10.14) следует, что для увеличения разрешающей способности оптических приборов необходимо увеличивать диаметр объектива. Поэтому оптические телескопы изготавливают с диаметром входного зеркала в несколько метров.

Для примера, диаметр зрачка человеческого глаза при нормальном освещении равен приблизительно 2·10^-3 м. Для оптического излучения с длиной волны λ = 0,5·10^-6 м и f = 1 м, получим δφ = 3·10^-4 рад ≈ 1′. Значит, минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает их еще раздельно, равно одной угловой минуте.