Вопрос 4. Дифракция Фраунгофера на одной щели.

Пусть на бесконечно длинную щель (длина щели во много раз больше, чем ее ширина) шириной d=MN падает нормально к щели плоская монохроматическая световая волна, рис.9.6.

Поместим за щелью собирательную линзу Л, а в фокальной плоскости линзы – экран E. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, интерференционная картина, наблюдаемая в плоскости любого сечения, перпендикулярного к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать интерференционную картину в плоскости одного такого сечения.

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MН, то все его точки согласно принципа Гейгенса - Френеля являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MН в направлении, составляющем некоторый угол  с первоначальным направлением распространения света. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, будут собираться в различных точках экрана и при наложении в результате интерференции дадут на экране дифракционную картину.

Рис.9.6.

Опустим из точки M перпендикуляр MФ на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MФ и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MН до плоскости MФ и различна для разных лучей.

Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию НФ на ряд отрезков длиной /2. На расстоянии НФ = dsin уложится

Z = (dsin)/(/2) (9.10)

таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MФ, до встречи их с MН, разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины - зон Френеля. Число зон Френеля Z, укладывающихся на ширине щели, как следует из выражения (9.10), зависит от угла . Волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят друг друга. Если число зон четное (Z = 2m, где m - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит друг друга, так что при данном угле  на экране будет наблюдаться минимум освещенности. Углы , соответствующие этим минимумам освещенности, находятся из условия:

dsin_min = 2m/2, (m = 0, 1, 2, 3, ...). (9.11)

В промежутках между минимумами на экране наблюдаются максимумы освещенности при углах , определяемых из условия

dsin_max = (2m + 1)/2, (m = 0, 1, 2, 3, ...). (9.12)

Для этих углов фронт MН разбивается на нечетное число зон Френеля Z = 2m +1 и одна из зон остается нескомпенсированной. Амплитуда колебания в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2m+1), а интенсивность ~ 1/(2m+1)² от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MН.

Для точки экрана O, лежащей против центра линзы, угол  = 0, а щель действует как одна зона Френеля и в этом направлении свет от щели распространяется в одной фазе и в точке О будет наблюдаться наибольшая интенсивность - центральный максимум. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, рис.9.6. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения а/. Из (9.10) следует, что sin = Z/2а. Поскольку модуль sin не может превышать единицу, то Z/2а ≤ 1, откуда

Z ≤ 2a/. (9.13)

Если щель очень узкая, а << , то вся поверхность MН является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (9.11) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения m = 1 и интенсивность света монотонно убывает от середины интерференционной картины к ее краям, асимптотически приближаясь к нулю. Сечение такой щели является практически точечным источником света, и волна от него будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а >> , то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(₁)_min = arcsina a 1. (9.14)

Следующий минимум будет при угле (₂)_min  2/a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской световой волны на экране наблюдается геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими практически неразличимыми глазом перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и Z_max имеет значение порядка 3–5.

Положение на экране дифракционных максимумов зависит от длины волны, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум будет наблюдаться в виде узкой белой полоски, рис.9 .7 , так как при угле  = 0 оптическая разность пути одинакова для света всех длин волн.

Рис.9.7

Боковые дифракционные максимумы для различных длин волн разойдутся, так как согласно (9.12), чем меньше , тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться радужно окрашенные боковые максимумы интенсивности – дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка – цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному, обращенные фиолетовым краем к центру. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Контрольные вопросы:

1. Каковы дополнения Френеля к принципу Гюйгенса?

2. В чем заключается принцип построения зон Френеля?

3. Поясните принцип действия зонных пластинок?

4. В каких случаях наблюдается дифракция Френеля? дифракция Фраунгофера?

6. Как влияет на дифракцию Фраунгофера от одной щели увеличение длины волны и ширины щели?

8. Почему при использовании белого света центральный максимум белый, а боковые максимумы радужно окрашены?

9. Запишите условия дифракционных минимумов для одной щели.

15. Какова предельная ширина щели, при которой еще будут наблюдаться минимумы интенсивности?

10. Чем определяется, будет ли число зон Френеля, открываемых

отверстием, четным или нечетным? Ответ обосновать.

11. Почему дифракция не наблюдается на больших отверстиях и больших дисках?