ВМ+ДМ / Высшая математика / Однородные системы линейных уравнений

Однородные системы линейных уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в против­ном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Общий вид однородной системы следующий:

(4)

Очевидно, что всякая однородная система имеет нуле­вое (тривиальное) решение x₁=0,х₂=0,...,х_n = 0 и, значит, является совместной.

Часто важно знать, имеет ли данная однородная си­стема еще и ненулевые решения. Отвечает на этот вопрос следующая теорема.

Теорема 4.Однородная система линейных уравне­ний имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство. Пусть система (4), ранг которой равен r, имеет ненулевое решение. Докажем, что r<n. Очевидно, что r не может быть больше n. Исключается и равенство r=n, так как в этом случае по теореме №2 система имела бы единственное (нулевое) решение. Следовательно, r<n.

Предположим теперь, что ранг системы уравнений (4) меньше числа неизвестных, т. е. r <n. Тогда система (4), как установлено ранее (теорема №3), имеет бесчисленное множество решений, в том числе и ненулевое. 

Следствие 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство. В самом деле, если в системе (4) m<n, то ранг r системы не превышает m, т. е. r m. Значит, r <n и по доказанной теореме система (1) имеет ненулевое решение. 

Следствие 2( Теорема 5). Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство. Условие detА=0 необходимо, т.к. при detА0 система имеет единственное, а значит нулевое решение. Это условие также и достаточно, т.к. если detА=0, то ранг основной матрицы системы r<n и, следовательно, система имеет бесконечное множество (в том числе и ненулевых) решений. 

Пусть х₁=α₁, х₂=α₂, …,х_n=α_n – какое-нибудь решение однородной системы линейных уравне­ний (4). Это решение можно рассматривать как строку е₁=(α₁,α₂,…,α_n), состоящую из n элементов.

Тогда строка С₁е₁=(С₁α₁,С₁α₂, …,С₁α_n) также будет решением однородной системы линейных уравне­ний (4), т.к. из Ае₁= 0  А(С₁е₁) = С₁(Ае₁)=0.

Далее, если е₂=(β₁,β₂,…,β_n) – какое-нибудь другое решение однородной системы линейных уравне­ний (4), то при  С₁ и  С₂ линейная комбинация

С₁е₁+ С₂е₂=(С₁α₁+ С₂β₁, С₁α₂+С₂ β₂, …, С₁α_n+С₂ β_n)

также будет решением однородной системы линейных уравне­ний (4).

Определение. Линейно независимая система решений е₁,е₂,…,е_k однородной системы линейных уравне­ний (4) называется фундаментальной, если каждое решение однородной системы линейных уравне­ний (4) является линейной комбинацией решений е₁,е₂,…,е_k.

Теорема 6. (о существовании фундаментальных систем решений однородной системы линейных уравне­ний )

Если ранг r основной матрицы однородной системы линейных уравне­ний (4) меньше n, то эта система обладает фундаментальными системами решений.

Теорема 7. Любая фундаментальная система решений однородной системы линейных уравне­ний (4) имеет n-r линейно независимых решений.

Следовательно, можно сказать, что общее решение однородной системы линейных уравне­ний (4) имеет вид:

С₁е₁+ С₂е₂+… С_kе_k,

где е₁,е₂,…,е_k – любая фундаментальная система решений однородной системы линейных уравне­ний (4), С₁, С₂,…,С_k- произвольные постоянные, k=n-r.