
- •Учреждение образования
- •Содержание
- •Поверхности (линии) уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функций нескольких переменных
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Дифференцируемость функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
- •Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Дифференцирование сложной функции
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Локальные экстремумы функции двух переменных
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению
- •Градиент функции
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Если функция
дифференцируема в точке
,
то, как было показано выше, ее полное
приращение в этой точке можно представить
в виде
.
Сумма первых двух слагаемых есть главная
линейная (относительно
и
)
часть приращения функции.
Определение.Если функциядифференцируема в точке
,
то главная, линейная относительно
приращения аргументов, часть ее полного
приращения называется полным дифференциалом
функции и обозначается
.
Приращения независимых переменных
и
называют дифференциалами независимых
переменных
и
и обозначают соответственно
и
.
Тогда полный дифференциал функции можно
записать в виде:
или в более краткой форме:
.
Пример.Найти полный дифференциал
функции.
Решение.для
.
Пример.Найти полный дифференциал
функции.
Решение.Найдем частные производные функции:
,
.
Следовательно,
для
.
Определение полного дифференциала
легко обобщается на случай функции
любого числа переменных. Например,
полным дифференциалом функции трех
переменных
в точке
называется главная, линейная относительно
приращений всех аргументов, часть
полного приращения функции, т. е.
.
Из определения дифференциала функции
нескольких переменных следует, что для
функции
можно полагать
,
а для функции
,
зависящей от трех переменных
,
для
,
.
Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:
,
.
И в общем случае,
.
Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.
Например, если задана дифференцируемая
функция
переменных
.
Тогда абсолютная погрешность
вычислений по этой формуле оценивается
величиной
,
а относительная погрешность ― величиной
.
Дифференцирование сложной функции
Пусть
— функция двух переменных, каждая из
которых, в свою очередь, является функцией
независимых переменных
и
:
,
.
Тогда
— сложная функция двух независимых
переменных
и
,
а переменные
и
—
промежуточные аргументы.
Теорема.Если функциядифференцируема в точке
,
а функции
и
дифференцируемы в точке
D
,
то сложная функция
,
где
;
,
дифференцируема в точке
D
,
причем ее частные производные вычисляются
по формулам:
,
.
Доказательство.Докажем первую из
формул. В точкепеременной
дадим приращение
,
сохранив
постоянной. Тогда функции
и
получат
частные приращения
,
,
а функция
— полное приращение
(так как
и
— приращения по обоим промежуточным
аргументам). Функция
дифференцируема в точке
,
поэтому ее приращение в этой точке
представимо в виде
.
Разделим данное равенство на
:
(1)
Если
,
то
и
в силу непрерывности функций
и
,
,
.
Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что
,
имеем
.
Аналогично
.
Теорема доказана.
Рассмотрим функцию трех переменных
,
каждая из которых, в свою очередь,
является функцией независимых переменных
,
,
:
,
,
.
Тогда функция
является сложной функцией трех независимых
переменных
,
,
,
а переменные
,
,
называются промежуточными. Частные
производные этой функции вычисляются
по формулам:
,
,
.
Пример. Вычислить частные производные
сложной функции двух переменных,
где
;
.
Решение.Найдем частные производные
,
,
,
,
,
.
Следовательно,
.
Найдем теперь полный дифференциал
сложной функции
в точке
.
Подставим выражения
и
в формулу полного дифференциала сложной
функции двух переменных
.
(2)
Получим
или
Так как
,
,
то
.
(3)
Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что
форма записи полного дифференциала
функции двух переменных не зависит от
того, являются ли
и
независимыми переменными, или функциями
других независимых переменных. В этом
и заключается инвариантность формы
первого дифференциала функции нескольких
переменных. (Напомним, что первый
дифференциал функции одной переменной
также обладает этим свойством.)