ВМ+ДМ / Высшая математика / Свойства определителей

Основные свойства определителей

Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть замена строк и столбцов определителя с сохранением порядка их следования не меняет величину определителя. Свойство 1 означает равноправность строк и столбцов.

Свойство 2. При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный (свойство антисимметрии).

Свойство 3. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

Следствие свойства 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны (или равны), то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца (или некоторой строки) j определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых а_ij=λb_i+μc_i , то определитель равен линейной комбинации двух определителей: Δ=λΔ₁+μΔ₂ , причём у каждого из этих определителей все столбцы, кроме j-го, такие же, как у определителя Δ, а j-й столбец у первого определителя Δ₁ состоит из элементов b_i, а у второго определителя Δ₂ – из чисел c_i (свойство линейности).

Свойство 6. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.