
- •Кратные интегралы Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах
- •Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
- •Тройной интеграл
- •Криволинейные интегралы второго рода Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
- •Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •Формула Грина
- •Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •Литература
- •«Высшая математика»
Криволинейные интегралы второго рода Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла второго рода
Напомним, что если сила
постоянна (по величине и по направлению),
а путь
прямолинеен, то работа этой силы на
заданном пути равна скалярному
произведению векторов
и
:
.
Пусть переменная сила
действует вдоль кривой
,
меняясь при этом в каждой точке приложения
как по модулю, так и по направлению, т.е.
,
где
,
,
― непрерывные вдоль данной кривой
функции. При перемещении материальной
точки вдоль данной кривой
сила
совершает некоторую работу
.
Чтобы найти эту работу разобьем
произвольным образом кривую начастей
,
длиной
.В каждой части
выберем произвольным образом точку
,
лежащую на кривой
.
Пусть
― единичный вектор касательной к кривой
в точке
.
Тогда вместо участка
можно приближенно рассматривать вектор
,
равный ему по длине и приблизительно
по направлению, учитывая направление
вдоль кривой.
Следовательно, ( если считать силу
(
)
постоянной на участке
)
элементарная работа
силы
на участке
приближенно равна скалярному произведению:
.
Вся работа силы
на криволинейном пути
приближенно выражается формулой
.
Переходя к пределу при
,
где
― длина наибольшей из элементарных дуг
,
получаем точное значение работы
.
Если данная интегральная сумма имеет
предел при
,
то он называется криволинейным интегралом
второго рода от вектор - функции
по кривой
и
обозначается
.
Таким образом, с механической точки зрения криволинейный интеграл второго рода есть работа переменной силы вдоль некоторой линии перемещения.
.
Отметим также, что определение
криволинейного интеграла второго рода
остается в силе и когда кривая
замкнутая. В этом случае начальная и
конечная точки совпадают. Криволинейный
интеграл второго рода по замкнутому
контуру
обозначается следующим образом:
.
Отметим два свойства криволинейного интеграла.
Свойство 1.Криволинейный интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный.
Свойство 2.Разобьем кривую
интегрирования
точкой
на части
и
,
тогда
.
Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
При определении криволинейного интеграла
второго рода элементарная работа
силы
на участке
находилась как скалярное произведение
вектора
и вектора, приближенно равного по длине
и направлению участку
.
Вместо вектора
,
в качестве вектора, близкого к
можно взять вектор
, начало и конец которого совпадают с
началом и концом участка
.
Найдем скалярное произведение векторов
и
в координатной форме как сумму произведений
соответствующих координат:
Переходя к пределу при
,
где
― длина наибольшей из элементарных дуг
,
получаем точное значение работы
.
Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:
или, в более краткой форме
.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Пусть линия
задана параметрически
:
.
Тогда по определению дифференциала
Отметим начало дуги
точкой
,
конец — точкой
.
В этом случае говорят, что задано
направление перемещения по кривой от
точки
к точке
и тем самым указано направление
ориентирующего вектора
.
Покажем, что вычисление криволинейного
интеграла второго рода по линии
заданной параметрически, сводится к
вычислению однократного определенного
интеграла по параметру
:
А в случае плоской кривой, когда
,
последняя формула примет вид:
Замечание.Для плоской кривой,
заданной уравнением,
криволинейный интеграл второго рода в
координатной скалярной форме сводится
к определенному интегралу по переменной
(Выбрана ориентация
,
при которой
,
соответствуют началу и окончанию пути
интегрирования.)
Если кривая
задана уравнением
,
,
то при соответствующей ориентации
интегрирование по переменной
будет осуществляться от
до
:
.
Пример. Вычислить,
где
—
отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических
уравнений прямой с направляющим
вектором
,
проходящей через начальную точку с
координатами
:
Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямой
вектор
.
.
Начальной точкой отрезка
является
точка
.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что
точке
соответствует значение параметра
,
а точке
значение
.
По определению дифференциала
Подставляя в интеграл значения
и
,
а также учитывая значения параметра
и
,
соответствующие началу и концу дуги
,
получим:
.
Пример. Вычислить,
где
—
отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических
уравнений прямой с направляющим
вектором
,
проходящей через начальную точку с
координатами
:
Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямой
вектор
,
т. е.
.
Начальной точкой отрезка
является
точка
.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что
точке
соответствует значение параметра
,
а точке
значение
.
По определению дифференциала
Учитывая, что
и
,
подставляем в интеграл только значения
и
,
а также значения параметра
и
,
соответствующие началу и концу дуги
.
Пример. Вычислить,
где
—плоская
кривая, являющаяся частью параболы
от точки
до точки
.
Решение. Изобразим на рисунке линию
интегрирования.
Воспользуемся формулой:
В данном случае
соответствуют началу и окончанию пути
интегрирования,
,
следовательно:
.