Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть периодическая функция с периодом разложена в ряд Фурье

. (31)

Из формулы Эйлера следует, что

и .

Тогда ; .

Подставив эти выражения в (31) и отдельно группируя слагаемые, содержащие и , получим

.

Если обозначить ; ; , то ряд примет вид

,

а просуммировав по отрицательным значениям , запишем комплексную форму ряда Фурье в окончательном виде

. (32)

Комплексные коэффициенты Фурье вычисляются по формуле

. (33)

Для произвольного периода формулы (31) и (32) принимают вид

; . (34)

Модуль позволяет найти амплитуду -ой гармоники

; .

Комплексная форма ряда Фурье имеет более простой вид по сравнению с формулами (24, 25). Кроме того, в ряде случаев она облегчает вычисления.

В электротехнике числа называют волновыми числами, а их совокупность - спектром. Для ряда Фурье спектр имеет дискретный характер.

Пример 33. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию

Решение. По формуле (33), интегрируя по частям, находим коэффициент Фурье для .

Так как

и ,

то .

Для имеем:

.

Используя формулу (31), получим ряд Фурье:

.

Интеграл Фурье

Непериодическую функцию можно представить как периодическую с периодом . При числа будут охватывать все значения, то есть спектр волновых чисел будет непрерывным, и суммирование в ряде Фурье (34) заменится на интегрирование.

Если непериодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и сходится, то ее можно представить интегралом Фурье, который в комплексной форме имеет вид

(35)

где S(. (36)

является аналогом коэффициента (формулы 34 и 36). Однако, если характеризует амплитуду волнового числа , то - плотность распределения комплексной амплитуды. Поэтому данную функцию называют спектральной плотностью или спектральной функцией. Ее модуль называют амплитудой спектральной плотности или амплитудным спектром.

Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье, а формулу (35) - обратным. Вместе они составляют пару преобразований Фурье.

В точках разрыва функции интеграл Фурье как и сумма ряда Фурье равен полусумме пределов функции слева и справа.

Интеграл Фурье можно представить аналогично формулам (24-25), то есть без комплексных выражений

,

где , .

Спектральная плотность выражается через функции и следующим образом

. (38)

Пример 34. Найти спектр прямоугольного импульса.

Прямоугольный импульс (рис.5) высотой и длительностью  задан уравнениями:

=

По формуле:

, находим спектральную плотность.

Так как - площадь импульса, то

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется числовым рядом, частичной суммой, общим членом ряда, его суммой?

2. Запишите ряд в кратком виде. После записи проверьте, получаются ли из них все члены ряда:

а) ;

б) .

3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда . Используя его, докажите расходимость рядов:

а) ; б) ; в) .

4. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак Даламбера, признаки Коши. Исследуйте на сходимость ряды:

а) . Ответ: ряд сходится .

б) . Ответ: ряд расходится .

в) . Ответ: ряд расходится .

5. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

6. Дайте определение абсолютно и условно сходящихся рядов.

7. Что называется областью сходимости функционального ряда?

8. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда?

9. Как исследуется сходимость степенного ряда в граничных точках области сходимости?

10. Найти области сходимости следующих рядов:

а) Ответ. при x =-2

ряд сходится условно.

б) Ответ.

в) Ответ.

11.Разложить в ряд по степеням x следующие функции:

а) Ответ.

б) Ответ.

в) Ответ.

Указание. Использовать формулу

12. Вычислить приближенно , воспользовавшись рядом

и взяв сумму первых пяти членов при х=1. Какова будет величина допущенной ошибки?

13. Разложить функцию в ряд Фурье

а)

б)

Ответ: а) б) .

14. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам, продолжив ее в симметричный интервал:

а) Ответ:. .

б) Ответ: .

15. Написать формулу прямого и обратного преобразований Фурье.

16. Что называется спектральной плотностью?

17. Найти комплексный и амплитудный спектр функции

Ответ: ,

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.

Исследовать знакоположительные числовые ряды (а) на сходимость и знакочередующиеся числовые ряды (б) на абсолютную и условную сходимость.

1. а) ; б) .

2. а) . б)

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) б) .

10 а) ; б)

Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Таблица 1.

11		16
12		17
13		18
14		19
15		20

Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить приближенно значение определенного интеграла с точностью до =0,001.

Таблица 2.

№		b	№		b
21		1	26
22			27		2
23		1	28
24		1	29		1
25		1	30

Разложите в ряд Фурье периодическую функцию, аналитическое выражение которой задано на промежутке длиной, равной периоду.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38. ,

39. Т=1. 40. ,

Разложите функцию в ряд Фурье по синусам. Постройте график суммы ряда.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

Найдите преобразование Фурье функции .

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение Рабочая программа Варианты контрольных заданий Литература Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда Сходящиеся и расходящиеся ряды Основные свойства сходящихся рядов Признаки сходимости числовых рядов Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Знакопеременные ряды Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости Степенные ряды Ряды Маклорена и Тейлора Ряды Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Интеграл Фурье Вопросы и упражнения для самопроверки Контрольная работа №4

3 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 14 14 15 18 18 19 21 24 30 32 33 36

План 2001/2002, поз. 31

Гладков Лев Львович

Гладкова Галина Александровна

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика», часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 145. 01. 03 «Сети телекоммуникаций»

Редактор Вердыш Н.В.

Подписано к печати 20.12.2002

Формат 60S84/16

Усл. Печ. Л. 2,3. Уч. - изд. Л. 2,0

Тираж 90 экз. Заказ 675.

Высший государственный колледж связи