Ряды тейлора и маклорена

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x₀. При x₀=0 этот ряд называют также рядом Маклорена.

Ответ на вопрос о возможности разложения функции в степенной ряд дает сформулированная ниже теорема. Предварительно представим f(x) в виде

,

где R_n(x) – остаточный член ряда, который может быть представлен в форме Лагранжа ,  заключено между х₀ и х.

ТЕОРЕМА 11.

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степеням (x-x₀) в окрестности точки x₀ , то этот ряд является рядом Тейлора.

Условия разложимости функции в степенной ряд:

1. f(x) должна иметь в интервале сходимости производные всех порядков.

2. n-ая частичная сумма ряда Тейлора должна стремиться к f(х) при n, т.е. .

Условие 2 выполняется, если все производные f⁽ⁿ⁾(x) ограничены, т.е. если существует такое число М, что во всех точках интервала сходимости

< M (nN ).

Сравнительная простота разложения некоторых функций в степенные ряды, привела к широкому их использованию в приближенных вычислениях. Наиболее часто используются следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена:

(по определению 0!=1).

ln(1+x)=,

(1+x)^=1+.

Так как область сходимости первых трех рядов x(-,+), то эти равенства справедливы для любого значения x. Два последних ряда сходятся при x(-1;1)

За приближенное значение функции берется n-ая частичная сумма ряда Маклорена. При этом остаточный член ряда представляет собой абсолютную ошибку вычислений. Оценка остатка позволяет определить требуемое число слагаемых в частичной сумме. и для знакочередующегося ряда проводится на основании признака Лейбница ( абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемых членов ряда).

Оценка остатка для знакоположительных рядов обычно производится подбором легко суммируемого ряда, члены которого больше оцениваемого остатка ( чаще всего это геометрическая прогрессия).

Пример 29. Вычислить е, воспользовавшись рядом

и взяв сумму первых пяти членов при х=1. Оценить величину погрешности .

Решение. x=1.

Оценим остаток данного ряда с положительными членами двумя способами.

I способ. Воспользуемся остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа

.

В нашем примере x₀=0, x=1, n=4, . Поэтому

, .

II способ.

<

.

Остаток ряда < т.е. после запятой оставляем две верные цифры

e1+1+0,5+0,166+0,0422,71.

Следует отметить, что в данном примере второй способ оценки ошибки оказался более точным.

Многие практически нужные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, так как первообразная не может быть выражена через конечное число элементарных функций.

Однако, если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости, то можно вычислить определенный интеграл с заданной степенью точности.

Пример 30. Вычислить с точностью 0,0001.

Решение. 1) Для разложения подынтегральной функции в ряд введем замену z=-x² . Тогда можно использовать приведенное выше разложение в ряд Маклорена для функции вида y=e^z

.

Возвращаясь к исходной переменной x , получим

, x.

2) Проинтегрируем его почленно

=

3) Получили знакочередующийся ряд. Для обеспечения требуемой точности достаточно взять сумму первых 7 членов, так как при n=6

,

при n=7

.

4) Вычислим приближенно интеграл с одной запасной цифрой.

1-0,33333+0,1-0,02381+0,00463-0,00076+0,00011=1,10474-0,35790= =0,74684.

Округляя, получим.