Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
Пусть u1(x), u2(x), ... , un(x), ... – последовательность функций, определенных на некотором множестве X.
Ряд вида
,
(20)
членами которого являются функции, называется функциональным.
Придавая в (20) x
различные числовые значения из множества
X,
будем получать различные числовые ряды.
В частности, при x=x0X
получим числовой ряд
.
Этот числовой ряд может быть сходящимся
или расходящимся. Если он сходится, то
x0
называется точкой
сходимости функционального ряда
(20) .
Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через D. Очевидно, Dx. В частных случаях, множество D может совпадать или не совпадать с множеством X, или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества X.
Вид области D для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях, при исследовании функциональных рядов на сходимость, можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число.
Определения:
Сумма первых n членов функционального ряда Sn(x)=u1(x)+ u2(x)+...+ un(x)
называется
n-ой
частичной суммой,
а функция 
,
определенная в области D,–
суммой
функционального ряда.
Функция Rn(x) = S(x)-Sn(x) , определенная в области D, называется остатком ряда.
Функциональный
ряд называется абсолютно
сходящимся
на множестве DX,
если в каждой точке D
сходится ряд 
.
Степенные ряды
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.
Определение.
Степенным рядом называется функциональный ряд
(21)
члены которого являются произведениями постоянных C0 , C1 , ... , Cn ,... на степенные функции от разности x-x0 с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x0 называется центром степенного ряда.
Пример 27.
Ряд 
– степенной ряд с центром в точке x0=0.
Ряд 
– степенной ряд с центром в точке x0=-3.
Ряд
– функциональный ряд.
Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Ответ на этот вопрос можно получить , используя теорему Абеля.
ТЕОРЕМА 10. (Теорема Абеля)
Если степенной ряд сходится при x=x1 (x1x0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех x, удовлетворяющих неравенству
|x-x0 |<|x1-x0|.
Если степенной ряд расходится при x=x2 , то он расходится для всех x, удовлетворяющих неравенству
|x-x0 |>|x2-x0|.
Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x-x0|<R, ряд сходится абсолютно и расходится при всех x, для которых |x-x0|>R.
Число R
называется радиусом
сходимости
ряда 
,
а интервал (x0-R,
x0-R)
– интервалом
сходимости.
В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R=) или может превращаться в точку (в этом случае R=0). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.
Пример 28. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Решение. Первый
способ.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
величин членов данного ряда :
.
Применим признак Даламбера:
.
Если |x-2|<1, то ряд сходится. Итак, -1<x-2<1, 1<x<3 – интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x=1 и x=3, исследуется отдельно.
При x=1
из данного ряда получаем ряд
,
который условно сходится.
При x=3
получаем гармонический ряд
, который расходится.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1<x<3 и условно при .x=1.
Второй способ
решения.
Если для степенного ряда (2) существует
,
то радиус сходимости степенного ряда
можно вычислить по формуле
.
(22)
или 
В нашем случае 
и 
,
поэтому 
.
Так как x0=2
– центр степенного ряда, то (x0-R,
x0+R)=(1;3)
– интервал сходимости данного ряда.
Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1<x<3 и условно при х=1.