
- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Теоремы о среднем значении
Теоремы о среднем — одно из свойств
дифференцируемых функций. Одним из
важнейших классов (множеств) функций,
изучаемых в курсе математического
анализа и имеющих первостепенное
значение при решении задач практического
характера, является класс непрерывных
функций. Класс дифференцируемых функций
является подмножеством множества
непрерывных функций. Дифференцируемые
функции представляют особый интерес,
так как большинство задач техники и
естествознания приводят к исследованию
функций, имеющих производную. Такие
функции обладают некоторыми общими
свойствами, среди которых важную роль
играет ряд теорем, объединенных общим
названием теоремы о среднем. В каждой
из этих теорем утверждается
существование на отрезке
такой точки, в которой исследуемая
функция
обладает тем или иным свойством.
Теорема (Ролля). Пусть функция
удовлетворяет следующим условиям
на отрезке
.
1)
определена и непрерывна на
;
2)
дифференцируема на
;
3)
.
Тогда существует по крайней мере одна
точка
,
такая, что
.
Доказательство. Известно, что если
непрерывна на
,
то на этом отрезке она принимает свое
наибольшее
и наименьшее
значения (по теореме Вейерштрасса).
Возможны два случая.
1.
=
.
2.
>
.
Тогда из условия
следует, что хотя бы одно из двух значений
или
функция принимает в некоторой внутренней
точке
отрезка
.
Пусть для определенности
.
Это означает, что
.
Покажем, что
.
Согласно условию 2 теоремы Ролля, для
,
в том числе и для точки
существует конечная производная функции
.
Это условие равносильно существованию
равных односторонних пределов:
.
Найдем односторонние пределы. Так как
>
,
то приращение функции
0.
Следовательно,
.
Случай
рассматривается аналогично. ⊠
Геометрически теорему Ролля можно
пояснить следующим образом: если
непрерывная на отрезке
и дифференцируемая в интервале
функция
принимает на концах этого отрезка равные
значения, то на графике этой функции
найдется хотя бы одна такая точка
с абсциссой
,
в которой касательная параллельна оси
.
З
амечание.
Условия теоремы Ролля являются
достаточными, но не необходимыми.
Например, функция
определена и непрерывна на [—1; 1],
дифференцируема во всех внутренних
точках этого отрезка, однако для нее не
выполняется третье условие теоремы
Ролля:
.
Тем не менее, существует точка
,
такая, что
.
Теорема (Лагранжа). Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
,
то существует по крайней мере одна точка
,
такая, что
. (1)
Доказательство. Составим вспомогательную функцию
.
Покажем, что функция
удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Действительно:
1)
непрерывна на
,
так как является суммой непрерывных
на
функций;
2)
дифференцируема на
,
так как является суммой дифференцируемых
на
функций;
3)
.
Тогда по теореме Ролля существует
точка
,
такая, что
.
,
тогда
.
⊠
Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конечных приращениях.
Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде:
.
Геометрически теорема Лагранжа
утверждает, что между точками
и
на дуге найдется по крайней мере одна
точка
,
в которой касательная параллельна хорде
,
при условии, что в каждой точке дуги
существует касательная.
Положим в формуле Лагранжа (1)
,
.
Тогда она примет вид
, (2)
где
.
Формула (2) связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений.
Если в формуле Лагранжа (1) положить
,
получим теорему Ролля, т. е. теорема
Ролля является частным случаем теоремы
Лагранжа. В свою очередь обобщением
теоремы Лагранжа является теорема Коши.
Теорема (Коши). Пусть функции
и
удовлетворяют
следующим условиям:
1) непрерывны на отрезке
;
2) дифференцируемы в интервале
,
причем
.
Тогда существует по крайней мере одна
точка
,
такая, что
. (3)
Доказательство. Составим вспомогательную функцию:
.
Заметим, что
.
Действительно, если бы
,
то для функции
на отрезке [a; b]
были бы выполнены все условия теоремы
Ролля, и по этой теореме внутри отрезка
нашлась бы по крайней мере одна точка
,
для которой
,
что противоречит условию теоремы.
Следовательно,
.
Покажем, что вспомогательная функция
удовлетворяет условиям теоремы
Ролля. Действительно:
1)
непрерывна на
как сумма непрерывных на
функций;
2)
дифференцируема на
как сумма дифференцируемых на
функций;
3)
,
Найдем производную функции
:
.
По теореме Ролля существует точка
такая, что
.
⊠
При
формула Коши (3) «перейдет» в формулу
Лагранжа (2). Таким образом, теорема
Лагранжа является частным случаем
теоремы Коши.