Точки разрыва функции и их классификация

Если хотя бы одно из условий определения 1 не выполнено, то точка является точкой разрыва. Различают следующие виды точек разрыва:

1) если существует, но функция в точке не определена или определена, но то точка называется точкой устранимого разрыва;

2) если существуют конечные односторонние пределы в точке , но они не равны друг другу, то точка называется точкой разрыва первого рода, а модуль разности — скачком функции в точке ;

3) если хотя бы один из односторонних пределов равен  или вообще не существует, то точка называется точкой раз­рыва второго рода.

Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 1. Если — точка разрыва, то для установления характера разрыва не­обходимо вычислить односторонние пределы.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Область определения данной функции(–;1)(1; +).

Следовательно, является точкой разрыва. Определим характер точки разрыва. Так как

–, +,

то является точкой разрыва второго рода.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Так функции , и непрерывны в области задания, то точками разрыва могут быть только точки перехода от одного аналитического выражения к другому. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.

1) Исследуем функцию в точке . Вычислим односторонние пределы

,

Так как односторонние пределы существуют, конечны, но не равны друг другу, то точка является точкой разрыва первого рода. Модуль разности между левым и правым пределом есть скачок. В данном случае скачок равен 1.

2) Исследуем функцию в точке . Вычислим односторонние пределы

,

,

,

То есть, . Следовательно, функция в точке непрерывна.

Действия над непрерывными функциями.

Непрерывность основных элементарных функций

Сформулируем теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, а также их композиции.

Доказательства этих теорем однотипны и основываются на опре­делении непрерывности функции в точке.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то и функции , непрерывны в точке . Если, кроме того, , то функция /является также непрерывной в точке .

Доказательство. Докажем, например, непрерывность функции в точке . Из непрерывности функций и в точке следует, что , . Тогда

.

т. е. функция непрерывна в точке . Аналогично доказы­ваются другие утверждения теоремы.

⊠

Эту теорему можно обобщить на случай конечного числа функ­ций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных в точке х₀, непрерывны в точке .

Сформулируем теорему о непрерывности сложной функции.

Теорема. Сложная функция, являющаяся композицией ко­нечного числа непрерывных в точке функций, непрерывна в точке .

Доказательство. Докажем эту теорему для случая, когда сложная функция является композицией двух непрерывных в точке функций и .

Пусть , , тогда по определению сложной функции

.

Теорема утверждает, что если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Действительно, пусть . Тогда из непрерывности функции следует, что , т. е. что . Поскольку

непрерывна в точке , то Но так как , то последнее равенство можно записать в виде

или

.

⊠

Из определения 1 непрерывной функции в точке и последней теоремы следует, что

или в частном случае

т. е. символы предела и непрерывной функции перестановочны.

Приведем без доказательства следующие две теоремы.

Теорема. Пусть функция определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция моно­тонна и непрерывна.

Теорема. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения.