Критерии сходимости несобственных интегралов второго рода

Вопрос о сходимости несобственных интегралов второго рода можно решить с помощью приводимых ниже теорем, в которых сфор­мулированы признаки сходимости таких интегралов.

Теорема (признак сравнения). Пусть в левой (правой) окрестности точки (точки ) определены две неотрицательные функции и , причем 0bb. Тогда из схо­димости несобственного интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости несобственного интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть функции и положительны на промежутке , — точка бесконечного разрыва функций и . Тогда если существует конечный предел

, то несобственные интегралы и

сходятся или расходятся одновременно.

Аналогично формулируется предельный признак сравнения не­собственных интегралов, имеющих разрыв в точке .

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв в точке . Сравним исходный интеграл с интегралом который, как было показано в предыдущем примере расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:

.

Следовательно, исходный интеграл тоже расходится.

Литература

1. Воднев В. Т. и др. Основные математические формулы: Справочник / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович; Под ред. Ю. С. Богданова.— 3-е изд., перераб. и доп.— Мн.: Вышэйшая школа, 1995.—380 с: ил.

2. Герасимович А. И. и др. Математический анализ: Справ. пособие. В 2 ч. Ч.1 /А. И. Герасимович, Н. П. Кеда, М. Б. Сугак.—Мн.: Вышэйшая школа, 1990.— 272 с: ил.

3. Гусак А. А. Высшая математика. Т. 2: [Учеб. пособие для естеств. спец. университетов.— 2-е изд., перераб. и доп.— Мн: Изд-во БГУ, 1983.—462 с.

4. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Мн.: Вышэйшая школа, 1967.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.; Высшая школа, 1974.

6. Жевняк P.M., Карпук А.А. Высшая математика. Функция многих переменных. Интегральное исчисление. - Мн.: Вышэйшая школа, 1993.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1- М.: Наука, 1976.

8. Руководство к решению задач по высшей математике. /Под ред. Гурского Е.И. Части 1 и 2. - Мн.: Вышэйшая школа, 1989.

9. Сборник задач по общему курсу высшей математики. Под редакцией Яблонского А.И. Мн.: Вышэйшая школа. 1994 г.

- 44 -