Определенный интеграл с переменным верхним пределом

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоян­ными пределами интегрирования и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пре­делом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .

С геометрической точки зрения, функция в случае 0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволи­нейной трапеции.

Найдем производную от по , т. е. производную определен­ного интеграла по верхнему пределу.

Теорема. Производная опре­деленного интеграла от непрерыв­ной функции no его перемен­ному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функ­ции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено зна­чение верхнего предела:

.

Доказательство. Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда

.

Используя аддитивность определенного интеграла, имеем

.

Применяя теорему о среднем, получаем

,

где .

По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:

.

⊠

Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции на отрезке .

,

т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

Так как интеграл существует для любого значения ,то данная теорема является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции . Этой первообраз­ной может быть определенный интеграл с переменным верхним пре­делом.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Значение определенного интеграла на отрезке от непрерывной функции равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при и :

.

Доказательство. Пусть функция , непрерывная на отрезке , следовательно, она имеет на этом отрезке первообразную, например

.

Пусть — любая другая первообразная функция на том же отрезке . Так как первообразные и отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то имеет место равенство

, , .

Подставляя в это равенство значение , получим

.

Полагая и обозначая переменную интегрирования через , получаем основную формулу интегрального исчисления:

.

которая называется формулой Ньютона — Лейбница.

⊠

Формула Ньютона — Лейбница позволяет избавиться от вычисления определен­ных интегралов как пределов интегральных сумм, и задача вычисле­ния определенного интеграла сводится к задаче вычисления не­определенного интеграла.

Основные методы вычисления определенного интеграла

Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньюто­на — Лейбница. Если — одна из первообразных непрерывной на функции , то справедлива формула Ньютона — Лейбница

Эта формула позволяет свести вычисление определенного ин­теграла к вычислению неопределенного.

Пример. Вычислить .

Решение.

.

Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , то справедлива формула замены переменной в опре­деленном интеграле:

.

Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы и — первообразная для функции на отрезке . По формуле Ньютона — Лейбница

⊠

Отметим, что при вычислении интеграла методом замены пере­менной одновременно с преобразованием подынтегрального выраже­ния изменяются соответственно и пределы интегрирования.

Пример. Вычислить .

Решение.

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть и — дифференцируемые на отрезке функции перемен­ной . Тогда

.

Проинтегрируем обе части послед­него равенства на отрезке

По формуле Ньютона — Лейбница

.

Следовательно,

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислить .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

.

Вычисление площадей плоских фигур

в прямоугольной системе координат

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если r0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми , может быть вычислена по формуле

.

Если 0, то

.

Если подынтегральная функция конечное число раз меняет знак на отрезке , то площадь заштрихован­ной на рисунке фигуры равна алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежа­щих над осью (со знаком « + ») и под этой осью (со знаком « — »).

Для того чтобы получить общую площадь заштрихован­ной отрезок интегрирования надо раз­бить на частичные отрезки, на которых функция сохраняет знак, то есть

.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , то эту площадь рассматривают как разность площадей двух криволинейных трапеций и . В этом случае

,

если .

В случае, когда разность не сохраняет знак на отрезке , этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция сохраняет знак.

Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , .

Решение. Решив систему уравнений

найдем точки , пересечения параболы и прямой .

Следовательно,

(кв.ед.)

Вычисление площадей плоских фигур

в полярной системе координат

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­нией , заданной в полярной системе координат уравнением , . За базовую фигуру в полярной системе коорди­нат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная линией и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч , , исходящий из полюса , пересекает линию не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция непрерывна на отрезке .

Для вычисления площади криволинейного сектора приме­ним алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Обозначим , . Проведем лучи ,. Тогда криволинейный сектор разобьется на частичных криволинейных секторов.

2. На каждом частичном отрезке , выберем произвольным образом точку и найдем значения функции в этих точках: .

3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков функция постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом и центральным углом . Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле

.

Тогда

. (1)

Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше .

4. За точное значение площади S криволинейного сектора можно принять предел интегральной суммы (1) при .

.

Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной , 0.

Решение. Найдем область определения данной функции.

0

0

0



,

при ,

при ,

при ,

при ,

На интервале от 0 до функция определена на трех участках. Изобразим график функции на рисунке.

Так как функция периодическая, то

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов в случаях бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций.

Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования (первого рода)

Пусть функция непрерывна на проме­жутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном от­резке , . Для функции , непрерывной на , сущест­вует определенный интеграл

,

зависящий от верхнего предела интегрирования. Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 0, прямыми и осью . Будем неограни­ченно увеличивать верхний предел интегрирования (+). При этом возможны два случая: либо при +  имеет предел, либо не имеет.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке +)называется предел при +:

(1)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке (–:

(2)

Если пределы в правых частях формул (1) и (2) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны,— то расходящимися.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции на промежутке ]–;+[, обозначаемый , предварительно представляют в виде

,

Тогда по определению

(3)

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называет­ся расходящимся.

Интегралы (1) — (3)называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный ин­теграл означает, что фигура, ограниченная кривой 0, прямыми , у = 0 и бесконечно вытянутая в направ­лении оси , имеет конечную площадь .

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобст­венных интегралов (2) и (3).

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение.

.

Итак интеграл сходится и определяет площадь бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

–.

т. е. данный интеграл расходится. а площадь S бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке не ограничена.

Критерии сходимости несобственных интегралов первого рода

Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.

Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [;+[ определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , причем 0 для [;+[, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема (предельный признак сравнения). Если на проме­жутке [;+¥[ определены две положительные функции и , интегрируемые на любом конечном отрезке , и существует конеч­ный предел

,

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема. Если на промежутке [;+¥[функция меняет знак и несобственный интеграл сходится, то сходится также и .

Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Несобственные интегралы от

неограниченных функций (второго рода).

Определение. Несобственным интегралом от функции , непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке , или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

. (4)

Аналогично если функция имеет бесконечный разрыв в точке , то полагают

. (5)

Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством адди­тивности определенного интеграла, данный интеграл пред­ставляют в виде суммы двух интегралов:

.(6)

Если пределы в правых частях формул (4) — (6) суще­ствуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках , и называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный ин­теграл второго рода означает, что фигура, ограниченная кривой 0, прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси имеет конечную площадь .

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

Решение. При и при подынтегральная функция имеет бесконечный раз­рыв, следовательно

Итак, несобственный интеграл сходится и определяет площадь бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. При подынтегральная функция имеет бесконечный раз­рыв, следовательно является несобственным интегралом второго рода, тогда по определению

+.

т. е. несобственный интеграл расходится.

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, не ограничена.