Высшая математика / Однородные системы линейных уравнений
.docОднородные системы линейных уравнений
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.
Общий вид однородной системы следующий:
(1)
Очевидно, что всякая однородная система имеет нулевое (тривиальное) решение x1=0,х2=0,...,хn = 0 и, значит, является совместной.
Часто важно знать, имеет ли данная однородная система еще и ненулевые решения. Отвечает на этот вопрос следующая теорема.
Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство. Пусть система (1), ранг которой равен r, имеет ненулевое решение. Докажем, что r<n. Очевидно, что r не может быть больше n. Исключается и равенство r=n, так как в этом случае по теореме №2 система имела бы единственное (нулевое) решение. Следовательно, r<n.
Предположим теперь, что ранг системы уравнений (1) меньше числа неизвестных, т. е. r <n. Тогда система (1), как установлено ранее (теорема №3), имеет бесчисленное множество решений, в том числе и ненулевое.
Следствие 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство. В самом деле, если в системе (1) m<n, то ранг r системы не превышает m, т. е. r m. Значит, r <n и по доказанной теореме система (1) имеет ненулевое решение.
Следствие 2. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство. Условие detА=0 необходимо, т.к. при detА0 система имеет единственное, а значит нулевое решение. Это условие также и достаточно, т.к. если detА=0, то ранг основной матрицы системы r<n и, следовательно, система имеет бесконечное множество (в том числе и ненулевых) решений.