МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.5
Исследование упругого столкновения шаров
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение закономерностей механических упругих столкновений шаров; проверка законов сохранения импульса и энергии в механике при столкновениях.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: Стол с наклонной плоскостью, набор шаров, уровень, измерительная линейка.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
-
Столкновения (удары)
Под столкновением двух или большего числа тел в широком смысле подразумеваются такие их взаимодействия, при которых между телами возникают кратковременные силы столь значительные, что роль всех других постоянно действующих сил можно считать несущественной. При этом вовсе не предполагается, что тела приходят в непосредственное соприкосновение, так называемое «столкновение». Примеры соударений: удар бильярдных шаров, попадание пули в мишень, столкновение машин на дорогах, столкновение молекул и атомов, пролет космического корабля вблизи Луны и т.д. Изучение столкновений (рассеяний) микрочастиц в атомной и ядерной физике позволяет определять характер полей, создаваемых ими, и другие важные свойства. Циклотроны, синхрофазотроны и другие ускорители микрочастиц являются в сущности своей приборами для изучения столкновений.
Рассматривая столкновения, мы допускаем, что
а) исходная система отсчета инерциальная;
б) система из двух и более шаров замкнута;
в) потенциальной энергией взаимодействия шаров и их вращением пренебрегаем.
Различают упругие и неупругие столкновения. Предельными идеализированными случаями столкновений являются столкновения абсолютно упругие и абсолютно неупругие.
Если после столкновения внутреннее состояние тел изменяется, например, тела не восстанавливают свою первоначальную форму, или столкновение сопровождается превращением кинетической энергии тел в другие виды энергии, то такое столкновение называется неупругим.
Столкновение тел называется абсолютно неупругим, если по его завершению тела движутся как единое целое. В этом случае имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил.
Примерами абсолютно неупругих столкновений являются попадание пули в подвижную мишень, например, в ящик с песком, подвешенный на веревке. Пуля, застряв в песке, остается в ящике и движется дальше вместе с ним. Шары из пластилина, воска или глины при столкновении обычно слипаются и затем движутся как единое целое. Аналогичное поведение наблюдается при столкновении двух разноименных ионов, сопровождающееся образованием молекулы, захвате свободного электрона положительным ионом и т.д.
Физические явления при столкновении тел довольно сложны. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы трения, в телах возбуждаются колебания и волны. Если удар неупругий, то в конечном итоге все эти процессы прекращаются и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело. Его скорость, не вдаваясь в механизм сопутствующих явлений, можно найти, используя только закон сохранения импульса.
Пусть абсолютно
неупругое столкновение происходит
между двумя телами массой
и
,
движущимися со скоростями
и
соответственно. По закону сохранения
импульса
,
откуда
скорость тел после столкновения
определяется выражением:
. (1.1)
Как
видно из формулы (1.1), движение тел после
столкновения происходит по диагонали
параллелограмма, построенного на
векторах
и
:
Рис. 1
Если до столкновения
линии скоростей
и
лежали вдоль прямой, соединяющей центры
масс тел, то столкновение называется
центральным,
в противном случае – нецентральным.
В случае центрального соударения при
переходе от векторной формы записи к
скалярной векторы импульсов разумно
проектировать на направление, совпадающее
с направлением вектора скорости одного
из тел, например, первого. Тогда:
(1.2)
В этом выражении
и далее по тексту в числителе верхний
знак относится к случаю, когда тела до
соударения двигались в одном направлении,
а нижний – когда они двигались навстречу
друг другу. В обоих случаях «
»
является скоростью движения центра
инерции системы.
Найдем, какая часть
кинетической энергии
при
центральном абсолютно неупругом
столкновении превращается в другие
виды энергии.
Суммарная кинетическая энергия тел до столкновения равна:
после столкновения:
(1.3)
где
‑ приведенная масса.
Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих тел происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине приведенной массы, умноженной на квадрат относительной скорости.
Рассмотрим один
частный случай, когда
и
(с точки зрения классической электронной
теории металлов это имеет место при
столкновении электронов проводимости
в металле с узлами кристаллической
решетки).
Разделим
числитель и знаменатель в выражении
(1.3) на
.
Получаем
.
В данном выражении,
исходя из условия, что
и
,
слагаемыми, содержащими
,
и дробью
,
в силу их малости, можно пренебречь и
тогда
. (1.4)
Это показывает, что при абсолютно неупругом столкновении быстрых частиц малой массы с медленной (или покоящейся) частицей большой массы, практически вся кинетическая энергия быстрой частицы преобразуется в другие виды энергии.
Таким образом, во время абсолютно неупругого столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию макроскопического движения. Поэтому применять закон сохранения энергии в его механической форме к таким процессам, происходящим во время удара, нельзя. Но после того, как удар закончился, и сталкивающиеся тела соединились в одно тело, законом сохранения энергии уже можно пользоваться (если, конечно, в дальнейшем не действуют диссипативные силы).