Арифметическое разложение булевых функций

Если в некотором выражении булевой функции F заменить логические операции арифметическими на множестве вещественных чисел {0, 1} по следующим правилам:

, (7)

, (8)

, (9)

, если , (10)

, (11)

, если , (12)

, (13)

, (14)

, (15)

то полученное в результате такой замены, раскрытия скобок и приведения подобных, выражение называется арифметическим разложением (или арифметическим полиномом) булевой функции и обозначается черев G(F) .

Например, для булевой функции, заданной вектором значений таблицы истинности w(F)=(00100111) арифметический полином G(F) имеет вид:

.

Отметим некоторые свойства арифметического полинома G(F) булевой функции n переменных .

1. Полином G(F) является для функции F единственным.

2. Полином G(F) имеет степень n, если вектор w(F) содержит нечетное

число единиц.

3. Сумма коэффициентов полинома G(F) равна значению булевой функции

F на наборе переменных (1,1,…,1) в таблице истинности.

Некоторые из методов разложения булевых функций F в ка­нонический полином Жегалкина после соответствующей модификации могут быть применимы для разложения F в полином G(F). К та­ким методам относятся, в частности, рассмотренный выше метод преобразования СДНФ.

При использовании метода преобразования СДНФ необходимо в СДНФ функции F заменить логическую операцию «дизъюнкция» на операцию "арифметическое сложение", поскольку из (12) сле­дует, что , если . Затем в полученном выражении необходимо избавиться от отрицания переменных по (7). После раскрытия скобок и приведения подобных получается искомый по­лином.

Пример. Составить арифметический полином G(F) СПНФ булевой функции, если СДНФ данной булевой функции, имеет вид: .

Решение. Заменим операцию дизъюнкции на операцию "арифметическое сложение" по формуле (10). При этом воспользуемся тем, что произведение (конъюнкция) любых полных дизъюнкций СДНФ всегда равно нулю:

.

Все переменные с отрицанием заменяем по формуле (7), затем раскрываем скобки и в полученном выражении приводим подобные:

Ответ: G(F)

Пример. Составить арифметический полином G(F) СПНФ булевой функции, если СДНФ данной булевой функции, имеет вид: .

Решение.

.

Ответ: G(F) .

Литература

1 Горбатов,В.А. Дискретная математика / В.А.Горбатов, А.В.Горбатов, М.В.Горбатова. – М.: АСТ Астрель, 2006.

2 Горбатов, В.А. Основы дискретной математики / В.А.Горбатов. – М.: Высшая школа, 1986.

3 Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А.Новиков. – СПб.: Питер, 2007.

4 Плотников, А.Д. Дискретная математика: учебное пособие / А.Д.Плотников. – М.: Новое знание, 2006.

5 Супрун, В.П. Методические указания к семинарским занятиям по специальным курсам «Теория булевых функций» и «Теория автоматов» «Полиномиальное разложение булевых функций» / В.П.Супрун. – Мн.: БГУ, 1991.

6 Шапорев, С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий / С.Д.Шапорев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007.

7 Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику / С.В.Яблонский. – М.: Наука,1988.

СОДЕРЖАНИЕ

Булевы переменные и функции ……………………..…………………..………...….3

Элементарные булевы функции. Равносильности………………………………...…4

Дизъюнктивные нормальные формы ...…………..….………………….………........7

Минимизация ДНФ …………….……………………..………………….……….….10

Конъюнктивные нормальные формы …………….…..…………….…......….…..…13

Минимизация КНФ …………….……………………..………………….……….….16

Полиномиальное разложение булевых функций…..….………………………........19

Разложение булевых функций в канонический полином Жегалкина ......….…..…21 Литература……………….…..…….…………………..……………...….…….......….23

Арифметическое разложение булевых функций........................................................24

26