
- •Часть II
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Решение.
- •Решение.
- •Интегрирование тригонометрических выражений
- •Решение.
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Условия интегрируемости функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Критерии сходимости несобственных интегралов второго рода
- •Литература
Решение.
Интегралы вида
.
В числителе интеграла
выделяется дифференциал выражения,
стоящего под знаком радикала, и этот
интеграл представляется в виде суммы
двух интегралов:
где
— вычисленный выше интеграл.
Пример. Найти
.
Решение. Имеем интеграл вида
:
Интегралы вида
.
Вычисление интеграла
сводится к вычислению
,
подстановкой:
.
Пример. Найти
.
Решение. Имеем интеграл вида
:
Интегралы вида
.
Существует несколько различных приемов
их вычисления, рассмотрим один из таких
приемов, основанный на применении
тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен
путем
выделения полного квадрата и замены
переменной может быть представлен в
виде
.
Таким образом, достаточно ограничиться
рассмотрением трех видов интегралов:
1) Интеграл
подстановкой
(или
)
сводится к интегралу от рациональной
функции относительно
и
.
Действительно, применим, например,
подстановку
(
),
тогда
,
,
.
2) Интеграл
подстановкой
(или
)
сводится к интегралу от рациональной
функции относительно
и
.
3) Интеграл
подстановкой
(или
)
также сводится к интегралу от рациональной
функции относительно
и
.
Пример. Найти
.
Решение.
Выразим
через
:
.
Следовательно,
.
Определенный интеграл
Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла
Пусть функция
определена и ограничена на отрезке
,
<
.
Разобьем
произвольным образом на
частичных отрезков точками
и обозначим это разбиение через
:
Пусть
— длина частичного отрезка
,
.
На каждом таком отрезке произвольным
образом выберем точку
и составим сумму:
(1)
Эта сумма называется интегральной
суммой Римана для функции
на отрезке
, соответствующей данному разбиению
отрезка
и выбору промежуточных точек
,
.
Пусть
— длина наибольшего частичного отрезка
разбиения
:
,
называемая диаметром разбиения.
Определение. Если существует конечный
предел интегральной суммы (1) при
,
не зависящий от способа разбиения
отрезка
на частичные отрезки и выбора промежуточных
точек
,
то этот предел называют определенным
интегралом (или интегралом Римана) от
функции
на отрезке
и обозначают
(2)
Если указанный предел существует, то
функция
называется интегрируемой на отрезке
(или интегрируемой по Риману). При этом
называется подынтегральным выражением,
— подынтегральной функцией,
— переменной интегрирования,
и
— соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Таким образом, определенный интеграл
есть число, равное пределу, к которому
стремится интегральная сумма, в случае,
когда диаметр разбиения
стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть функция
непрерывна на отрезке
и
0.
Определение. Фигура, ограниченная
графиком АВ функции
,
прямыми
и осью
, называется криволинейной трапецией.
Интегральная сумма и ее слагаемые имеют
простой геометрический смысл:
произведение
равно площади прямоугольника с
основанием
и высотой
,
а сумма
представляет собой площадь заштрихованной
ступенчатой фигуры, изображенной на
рисунке.
Очевидно, что эта площадь зависит от
разбиения
отрезка
на частичные отрезки и выбора точек
.
Чем меньше
,
тем площадь ступенчатой фигуры ближе
к площади криволинейной трапеции.
Следовательно, за точную площадь
криволинейной трапеции принимается
предел интегральной суммы при
:
.
Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.