1 Вычислить: .

2 Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

3 Упростить выражение .

4 Найти значение выражения , выполнив подстановку:,.

5 Решить уравнение .

6 Решить уравнение относительно переменной х.

7 Найти приближенное решение уравнения .

8 Решить системы уравнений:

а) б)

9 Для матрицы А найти определитель и обратную матрицу. Вычислить

произведение матриц АА^-1, АВ и СА. Результат представить в матричной форме.

, ,.

10 Решить систему уравнений матричным методом и выполнить проверку:

Вариант 2

1 Вычислить: .

2 Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

3 Упростить выражение .

4 Найти значение выражения , выполнив подстановку:,.

5 Решить уравнение .

6 Решить уравнение относительно переменной х.

7 Найти приближенное решение уравнения .

8 Решить системы уравнений:

а) б) .

9 Для матрицы А найти определитель и обратную матрицу. Вычислить

произведение матриц АА^-1, АВ и СА. Результат представить в матричной форме.

, ,.

10 Решить систему уравнений матричным методом и выполнить проверку:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Цель работы: Научиться с помощью программы Mathematica находить пределы функций, производные, интегралы, решать дифференциальные уравнения, представлять результат в аналитическом и численном видах.

Краткие теоретические сведения

Для выполнения основных операций математического анализа в программе Mathematica предусмотрен набор команд, как с помощью клавиатуры, так и помощью палитр BasicInput и BasicCalculations. В таблицах 3-7 рассмотрены примеры реализации наиболее часто используемых действий, верхняя строка примеров представляет собой команду ввода, нижняя – вывода.

Таблица 3 – Нахождение пределов

Действие	Реализация
Нахождение пределов
Нахождение предела	0
Нахождение односторонних пределов
Нахождение предела слева	
Нахождение предела справа	-

Таблица 4. Нахождение сумм рядов

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение сумм рядов
Вычисление суммы в численном виде
0.644934	0.644934

Замечание 1. Набор с помощью шаблонов палитр упрощает и ускоряет набор команд, а также уменьшает количество ошибок при наборе, так как шаблоны функций соответствуют общепринятым в математике обозначениям.

Замечание 2. Если программа Mathematica получит результат о расходимости ряда, то перед строкой вывода появится замечание: Sum does not converge, а строка вывода повторит запись исходного ряда.

Замечание 3. Если программа Mathematica не может вычислить аналитически, к чему именно сходится заданный ряд, но «считает», что он сходится, то строка вывода повторит запись исходного ряда. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.

Пример. С вычислением аналитически, к чему именно сходится ряд вида , программа Mathematica не «справилась», но «считает», что он сходится (замечание «Sum does not converge» не появилось). Строка вывода повторяет запись исходного ряда, численно был получен следующий результат:

1.58462+0.

Таблица 5 – Дифференцирование

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение производной
D[Sin[x],x] Cos[x]	Cos[x]
Нахождение производной высших порядков
24 x	24 x
Нахождение смешанной производной
Нахождение полного дифференциала

Замечание 4. Даже если задана функция от одной переменной, в команде нахождения производной необходимо указать переменную дифференцирования.

Таблица 6 – Интегрирование

Набор с помощью клавиатуры	Набор с помощью палитры
Нахождение неопределенного интеграла
Integrate[Sin[x],x] -Cos[x]	Sin[x]x -Cos[x]
Вычисление определенного интеграла
3	3
Вычисление повторного интеграла
-4	-4
Численное интегрирование
0.904524	0.904524

Замечание 5. Если программа Mathematica не может вычислить опреде-ленный интеграл аналитически, то строка вывода повторяет запись исходного интеграла. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.

Таблица 7 – Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений

Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений с начальными условиями

DSolve[{y''[x]+ 2y'[x]-3y[x]0,y[0]2,y'[0]1},y[x],x]

Решение систем дифференциальных уравнений

DSolve[{z'[x]z[x]-3y[x],y'[x]3z[x]+y[x]},{y[x],z[x]},x]

Решение систем дифференциальных уравнений с начальными условиями

DSolve[{z'[x]z[x]-3y[x],y'[x]3 z[x]+y[x],y[0]0,z[0]1}, {y[x],z[x]},x]

Замечание 6. При вводе функции DSolve следует обратить внимание на то, что и дифференциальные уравнения, и начальные условия записываются с двумя знаками равенства.

Замечание 7. При решении дифференциальных уравнений программа Mathematica часто выводит результат в очень громоздкой форме, которую можно значительно упростить, используя функцию Simplify. При этом сам результат можно не вносить в эту функцию как аргумент, а воспользоваться знаком %, т.е. Simplify[%]. Знак % означает ссылку на результат предыдущей по номеру строки.

Пример

DSolve[y''[x]+2y'[x]+10y[x]3Cos[x]+Sin[x],y[x],x]

Simplify[%]

Замечание 8. Часто решение дифференциальных уравнений можно получить только в неявном виде, то есть решение, в котором функцию y невозможно выразить с помощью функции от x . Это может быть даже простое уравнение с разделяющимися переменными. Если при этом решение можно получить в явном виде относительно x, то имеет смысл в функции DSolve задать x как функции от y. Тогда программа Mathematica, возможно, «справится» с этим дифференциальным уравнением.

Пример

Относительно функции y программа Mathematica не может решить следующее дифференциальное уравнение:

А относительно функции x программа Mathematica выдает следующий результат:

{{x[y]Log[C[1]+Log[y]+Sin[y]]}}

Замечание 9. Следует помнить, что константы С[1], C[2] и т.д. в программе Mathematica могут быть выражены не таким же образом, как при решении пользователем.

Содержание отчета

1 Название работы.

2 Цель работы.

3 Исходная постановка задачи.

4 Решение.

5 Выводы по результатам проделанной работы.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1 Найти предел функции .

2 Найти производную функции .