Программа перезачёта для студентов обучающихся на базе высшего профессионального образования

Программа перезачета по дисциплине «Математика» включает в себя следующие вопросы по основам линейной алгебры:

Матрицы. Операции над матрицами. Классификация матриц.

Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей.

Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения систем: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.

Экзамен для перезачета проводится в виде теста, на который отводится 60 минут. В экзаменационное задание включено 13 задач.

Рассмотрим демонстрационный вариант теста, аналогичный тем, что даются на экзамене.

Демонстрационный вариант теста

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычислить . Вычислить . Вычислить Вычислить . А = Найти А. Вычислить Вычислить Решить систему методом Крамера. В ответе указать и решение Решить систему методом обратной матрицы. В ответе указать Аи решение Решить систему решить методом Гаусса. Ответ дать в виде

В следующих заданиях надо установить истинность или ложность двух высказываний.

Если высказывание истинно, то в ответе ему соответствует 1, если же высказывание ложно, то 0. Ответ на каждое задание - одна из пар 00, 01, 10, 11.

11 12 13

Каждая единичная матрица является диагональной. Каждая квадратная матрица является диагональной. Произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей.

Определитель не изменится, если поменять местами его строки и столбцы. Если все элементы определителя второго порядка умножить на 2, то определитель увеличится в 4 раза. Методом Крамера можно решить любую систему линейных уравнений.

Решим задачи теста.

1. Вычислить .

Решение. Складываем элементы матриц, стоящие на одинаковых местах. Получаем новую матрицу: . Эту матрицу записываем в бланк ответов. Заполненный бланк ответов покажем после решения всех задач.

2. Вычислить .

Решение. Сначала умножим все элементы 1-й матрицы на 5, затем получившуюся матрицу сложим со 2-й по образцу решения 1-й задачи.

. Эту матрицу записываем в бланк ответов.

3. Вычислить

Решение. Выполняем действия по правилу умножения матриц. Сначала элементы 1-й строки умножаем на соответствующие элементы матрицы-столбца, получившиеся произведения складываем. То же проделываем со 2-й и с 3-й строками. Получаем элементы матрицы-столбца, которая является результатом умножения матриц.

Эту матрицу записываем в бланк ответов.

4. Вычислить .

Решение. Выполняем действия по правилу умножения матриц.

Эту матрицу записываем в бланк ответов.

5. А = Найти А.

Решение. Выполняем действия, соответствующие методу нахождения обратной матрицы. Вычисляем определитель матрицы А:

Находим дополнительные миноры матрицы

Находим алгебраические дополнения матрицы А.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем эту матрицу и умножаем ее на Получаем обратную матрицу.

Эту матрицу записываем в бланк ответов.

6. Вычислить

Используем правило вычисления определителя 2-го порядка.

Результат записываем в бланк ответов.

7. Вычислить

Решение. Вычислим определитель двумя способами. Сначала воспользуемся правилом вычисления определителя 3-го порядка.

Теперь вычислим определитель другим способом. Преобразуем его так, чтобы во 2-й строке получилось 2 нуля. Для этого умножим 2-й столбец на 2 и прибавим к 1-му.

Результат – на место 1-го столбца. Кроме того, прибавим 2-й столбец к 3-му. Результат – на место 3-го столбца. Получаем определитель в новом виде:Этот определитель раскладываем по 2-й строке. Так как во 2-й строке остался только 1 элемент, отличный от нуля, то от разложения остается только 1 слагаемое. Этот определитель уже можно сосчитать, но лучше упростить вычисления. Для этого из 1-й строки вынесем общий множитель 5, а из 2-й строки – общий множитель 13. ПолучимПолучилось то же, что при счете 1-м способом.

На экзамене определитель можно считать любым методом. Результат заносим в бланк ответов.

8. Решить систему методом Крамера. В ответе указать

и решение

Решение. Выпишем матрицу системы и столбец свободных членовВычисляем определители=22 – 28 = -6. Определительполучился из определителяпри помощи замены его 1-го столбца столбцомb свободных членов, определитель получился в результате аналогичной замены 2-го столбца. Теперь вычисляем значения неизвестных:

Полученный результат можно проверить подстановкой значений неизвестных в исходную систему уравнений. Если хотя бы одно равенство будет неверным, то надо либо искать ошибку, либо решать задачу снова. В бланк ответа надо внести значение и решение системы в виде вектора

9. Решить систему методом обратной матрицы. В ответе указать Аи решение

Решение. Выпишем матрицу системы и столбец свободных членов. Найдем матрицу А, обратную к матрице А.

Вычисляем определитель матрицы А:

Находим дополнительные миноры матрицы

Находим алгебраические дополнения матрицы А.

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем эту матрицу и умножаем ее на Получаем обратную матрицу.

Теперь находим решение системы по формуле .

Вычисляем Это означает, чтоВ бланк ответов записываем матрицу Аи решение в виде столбца. Перед записью в бланк решение можно проверить при помощи подстановки найденных значений неизвестных в уравнения исходной системы.

10. Решить систему решить методом Гаусса. Ответ датьв виде

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы: .

Идея метода заключается в преобразовании матрицы к треугольному виду. Сделать это можно разными способами. Согласно классическому методу 1-ю\строку надо умножить на и сложить со 2-й строкой, затем 1-ю строку надо умножить наи сложить с 3-й. Но из-за получающихся дробей делать это вручную неудобно, поэтому отклонимся немного от классического метода. Умножим 2-ю строку на (-2) и сложим с 1-й. Результат – на место 2-й строки: ( 4 3 3 21 ) (-4 6 -8 34 ) ---------------------- ( 0 9 -5 55 ) - новая 2-я строка. Умножим 1-ю строку на (-3), 3-ю – на 4 и сложим их. Результат – на место 3-й строки. (-12 -9 -9 -63 ) ( 12 16 20 76 ) ---------------------- ( 0 7 11 13 ) - новая 3-я строка. Заменим в исходной матрице старые строки на новые, получим такую матрицу:

. Умножим теперь 2-ю строку на (-7), 3-ю – на 9 и сложим их. Результат – на место 3-й строки. ( 0 -63 35 -385 ) ( 0 63 99 117 ) --------------------------- ( 0 0 134 -268 ) - новая 3-я срока.

После замены 3-й строки получаем матрицу . Получилась треугольная матрица (все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны 0). По этой матрице восстановим систему линейных уравнений.

Теперь система легко решается. Решаем сначала 3-е уравнение

Подставляем это значение во 2-е уравнение. ТогдаПодставляем теперь найденные значенияв 1-е уравнение.Найдены значения всех неизвестных. Решение представим в виде вектора, координатами которого являются значения неизвестных в порядке возрастания их номеров:Этот вектор заносим в бланк ответов.

11. Даны 2 утверждения:

Каждая единичная матрица является диагональной.

Определитель не изменится, если поменять местами его строки и столбцы.

Оба утверждения являются истинными. Поэтому ответ – две единицы, т.е. 11.

12. В этой задаче 1-е утверждение ложно, а 2-е - истинно, поэтому ответ такой: 01.

13. В этой задаче оба утверждения ложны, поэтому ответ такой: 00.

Заполненный бланк ответов может выглядеть так:

1		8
2		9	.
3		10	:
4		11	11
5		12	01
6	29	13	00
7	-65