2. Екстремум функції

Означення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції, якщо в деякому околі точкивиконується нерівність(рис. 4).

Означення 2.2. Точка називається точкою мінімуму функції, якщо в деякому околі точкисправджується нерівність(рис. 4). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції у точках і– відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.

Рис. 4. Екстремуми функції

Теорема 2.1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точціекстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулевіабо не існує

Іншими словами, функція може мати екстремум тільки у тих точках, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулеві або не існує, називаються критичними (або стаціонарними) точками. Звертаємо увагу на те, що ці точки повинні входити в область визначення функції. Однак легко переконатись, що критична точка зовсім не обов’язково є точкою екстремуму. Наприклад, функціязростає на усій числовій осі (див. додаток). Похіднав точцідорівнює нулеві, тобто, але екстремуму в цій точці немає. Отже, щоб знайти екстремуми функції, потрібно додатково досліджувати критичні точки. Іншими словами, необхідно визначити достатню умову екстремуму. Теорема 2.2. (перша достатня умова екстремуму).Якщо, переходячи через точку , похідна диференційованої функціїзмінює знак з плюса на мінус, то точкає точкою максимуму функції, а якщо з мінуса на плюс, то– точка мінімуму.

Схема дослідження функції на екстремум. 1. Знайти область визначення функції. 2. Обчислити похідну. 3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в якихабо не існує. 4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції. 5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.

Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію . á 1. Область визначення цієї функції. 2.Обчислюємо похідну функції. 3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції:. Зауважимо, що в точціпохіднане існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції. 4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).

Рис. 5. Інтервали монотонності

Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки виберемо, наприклад, значенняіі знайдемоі; отже,, якщоі, якщо. Аналогічно встановлюємо, щона інтерваліі, якщо. Згідно з достатньою умовою– точка мінімуму цієї функції, а– точка максимуму. 5. Знаходимо,. Теорема 2.3. (друга достатня умова екстремуму).Якщо функція двічі диференційована і, а, тоє точкою мінімуму функції; якщо, тоє точкою максимуму.

Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похіднуі визначити її знак у кожній критичній точці.

Приклад 2.2. Функції, що описують залежність загального доходу і загальних витратфірми від кількості одиницьпродукції, мають вигляд:(гр.од.) і(гр.од.). Знайти обсягпродукції, який максимізує прибуток, і максимальний прибуток. á Функція прибутку– це різниця між функціями загального доходу і загальних витрат, тобто. Значення, яке максимізує прибуток, є точкою максимуму функції прибутку. Знайдемо критичні точки цієї функції:– критична точка. Оскільки, то функція, якщо, має максимум;(гр.од.).