6. Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків

Вивчення характерних точок і ліній графіка функції дає можливість всебічно її дослідити і досить точно побудувати ескіз графіка. Досліджувати функцію рекомен­дується за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2.Дослідити функцію на парність – непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції. 3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції. 4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції. 5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину. Приклад 6.1. Виконати дослідження і побудувати графік функції . á 1) Область визначення функції. 2); отже, функція ні парна, ні непарна, неперіодична. Якщо, отримуємо, тому графік проходить через точку., якщо, якщо(рис. 11).

Рис. 11. Проміжки знакосталості функції

3) є точкою розриву функції;, томує вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти:;. Отже,– похила асимптота графіка функції. Поведінка функції, якщо:. 4) Визначимо екстремуми функції та інтервали зростання і спадання:. Рівняннямає два корені:, які є критичними точками функції. Розв’язуючи нерівностіметодом інтервалів (рис. 12), отримаємо: функція зростає, якщо, спадає якщо;–  точка мінімуму,.

Рис. 12. Проміжки зростання і спадання 5) Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та увігнутостіЯкщофункція опукла, якщофункція увігнута;– точка перегину (рис. 13).

Рис. 13. Точки перегину функції

На основі виконаних досліджень будуємо графік функції (рис. 14).

Рис. 14. Графік функції

7. Диференціал функції. Основні властивості диференціала

Приріст диференційованої функціїможна подати у вигляді, де. Перший доданокє головною частиною приросту функції, лінійною щодо.

Означення 7.1. Головна, лінійна щодо , частина приросту  диференційовної функції  називається диференціалом цієї функції і позначається символом  або .

Геометричний зміст диференціала: диференціал  є приростом ординати дотичної, проведеної до кривої в точці , що відповідає приросту аргументу  (рис. 15).

Рис. 15. Геометричний зміст диференціала функцій

Згідно з означенням. Якщо, то, тобто диференціалнезалежної змінноїзбігається з її приростом. Тому формулу для диференціала функції можна записати у вигляді. Властивості диференціала загалом аналогічні до властивостей похідної (тут– диференційовані функції, ): 1.;                                                4.; 2.;                                   5.; 3.;                        6..

 Зауважимо, що властивість 6 виражає інваріантність форми диференціала незалежно від того, чи змінна є незалежною, чи функцією іншої змінної.

Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою похідної

1. Зростання і спадання функцій

Нагадаємо, що функція називається зростаючою (спадною) на інтервалі, якщо для довільних, якщовиконується нерівність.

Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція диферен­ційована на. Якщодля всіх, то– зростаюча на; якщодля всіх, то– спадна на.

Зауваження. Якщо на, тостала на. . Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.

а                                                        б Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б) Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.

Приклад 1.1. Знайти інтервали монотонності функцій: а) ;            б). á а) Областю визначення цієї функції є множинаЗнаходимо похідну функції:. Очевидно, що, якщотаіякщо, тобто функція зростає на інтервалахіта спадає на інтервалі (1;3) (рис. 2.)

Рис. 2. Інтервали монотонності функції

б) Функція визначена на множиніВизначаємо похідну:. Розв’язуючи нерівностііметодом інтервалів, отримаємо, що ця функція зростає, якщоі спадає, якщо(рис. 3).

Рис. 3. Інтервали монотонності функції