4) Задача про радіоактивний розпад.

Нехай N (0) – вихідна кількість атомів радіоактивної речовини, а N(t) – кількість атомів, що не розпалися в момент часу t. Експериментально встановлено, що швидкість зміни кількості цих атомів N '(t) пропорційна N (t), тобто N' (t) = – N (t), > 0 – стала радіоактивності даної речовини. У шкільному курсі математичного аналізу показано, що розв’язок цього диференціального рівняння має вигляд N (t) = N (0) e^{– t} . Час T, за який число вихідних атомів зменшилося вдвічі, називається періодом напіврозпаду, і є важливою характеристикою радіоактивності речовини.

Для визначення T треба покласти у формулі

Тоді

Наприклад, для радону  = 2,084 • 10^–6, і звідси, T = 3,15 діб.

5) Задача про комівояжера.

Комівояжеру, що живе в місті A₁, треба відвідати міста A₂, A₃ і A₄, причому кожне місто точно один раз, і потім повернутися назад у A₁. Відомо, що всі міста попарно з'єднані між собою дорогами, причому довжини доріг b_ij між містами A_i і A_j (i,j = 1,2,3,4) такі:

b₁₂ = 30, b₁₄ = 20, b₂₃ = 50, b₂₄ = 40, b₁₃ = 70, b₃₄ = 60. Треба визначити порядок відвідування міст, при якому довжина відповідного шляху мінімальна.

Рис. 2

Зобразимо кожне місто точкою на площині і помітимо її відповідною міткою A_i (i = 1, 2, 3, 4). З'єднаємо ці точки відрізками прямих: вони будуть зображувати дороги між містами. Для кожної «дороги» зазначимо її протяжність у кілометрах (рис. 2). Вийшов граф – математичний об'єкт, що складається з деякої множини точок на площині (названих вершинами) і деякої множини ліній, що з'єднують ці точки (названих ребрами). Більше того, цей граф помічений, так як його вершинам і ребрам приписані деякі мітки – числа (ребрам) або символи (вершинам). Циклом на графі називається послідовність вершин V₁, V₂, ..., V_k, V₁ така, що вершини V₁, ..., V_k – різні, а будь-яка пара вершин V_i, V_{i +1} (i = 1, ..., k – 1) та пара V₁, V_k з'єднані ребром. Таким чином, розглядувана задача полягає в знаходженні такого циклу на графі, що проходить через всі чотири вершини, для якого сума всіх ваг ребер мінімальна. Знайдемо перебором всі різні цикли, що проходять через чотири вершини і починаються в A₁:

1) A₁, A₄, A₃, A₂, A₁; 2) A₁, A₃, A₂, A₄, A₁; 3) A₁, A₃, A₄, A₂, A₁.

Знайдемо тепер довжини цих циклів (в км): L₁ = 160, L₂ = 180, L₃ = 200. Отже, маршрут найменшої довжини – це перший.

Зауважимо, що якщо в графі n вершин і всі вершини попарно з'єднані між собою ребрами (такий граф називається повним), то число циклів, що проходять через усі вершини, так само

Отже, в нашому випадку є рівно три цикли.

6) Задача про знаходження зв'язку між структурою і властивостями речовин.

Розглянемо декілька хімічних сполук, які називаються нормальними алканами. Вони складаються з n атомів вуглецю і n + 2 атомів водню (n = 1, 2 ...), пов'язаних між собою так, як показано на малюнку 3 для n = 3. Нехай відомі експериментальні значення температур кипіння цих речовин:

y_э(3) = – 42°, y_э(4) = 0°, y_э(5) = 28°, y_э(6) = 69°.

Потрібно знайти наближену залежність між температурою кипіння і числом n для цих сполук. Припустимо, що ця залежність має вигляд

y a n + b,

де a, b – сталі, що підлягають визначенню. Для знаходження a і b підставимо в цю формулу послідовно n=3, 4, 5, 6 і відповідні значення температур кипіння. Маємо:

– 42  3a + b, 0  4a + b, 28  5a + b, 69  6a + b.

Для визначення найкращих a і b існує багато різних методів. Скористаємося найбільш простим з них. Виразимо b через a з цих рівнянь:

b  – 42 – 3a, b  – 4a, b  28 – 5a, b  69 – 6a.

Візьмемо за шукане b середнє арифметичне цих значень, тобто покладемо b  16 – 4,5a. Підставимо у вихідну систему рівнянь це значення b та, обчислюючи a, одержимо для a наступні значення: a  37, a  28, a  28, a  36. Візьмемо за шукане a середнє значення цих чисел, тобто покладемо a  34. Тоді, шукане рівняння має вигляд

y  34n – 139.

Перевіримо точність моделі на вихідних чотирьох сполуках, для чого обчислимо температури кипіння за отриманою формулою:

y_р(3) = – 37°, y_р(4) = – 3°, y_р(5) = 31°, y_р(6) = 65°.

Таким чином, похибка розрахунків даної властивості для цих сполук не перевищує 5°. Використаємо отримане рівняння для розрахунку температури кипіння сполуки з n = 7, що не входить у вихідну множину, для чого підставимо в це рівняння n = 7: y_р (7) = 99°. Результат вийшов досить точний: відомо, що експериментальне значення температури кипіння y_е(7) = 98°.