Математичне моделювання

1. Що таке математичне моделювання?

З середини XX ст. в різних областях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» і т. д., що вивчають математичні моделі відповідних об'єктів і явищ, а також методи дослідження цих моделей.

Математична модель – це наближений опис будь-якого класу явищ або об'єктів реального світу на мові математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти і передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання – це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає можливість керувати ним.

Математичне моделювання і пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або ускладнений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент в історії, щоб перевірити, «що було б, якби ...» вдалося перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак, все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі досліджуваних явищ.

2. Основні етапи математичного моделювання.

1) Побудова моделі. На цьому етапі задається деякий «нематематичний» об'єкт – явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чітке опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища і зв'язки між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання. 2) Розв’язування математичної задачі, до якої приводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів і чисельних методів розв’язування задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю і за допустимий час. 3) Інтерпретація отриманих наслідків з математичної моделі. Наслідки, виведені з моделі на мові математики, інтерпретуються мовою, прийнятою в даній області.

4) Перевірка адекватності моделі. На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками з моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі. На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була більш адекватною до дійсності, або її спрощення заради досягнення практично прийнятного розв’язку.

3. Класифікація моделей.

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, за характером розв'язуваних проблем моделі можуть бути розділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, а інші – як функції від цих величин. Математична модель зазвичай являє собою систему рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних і т.д.), що встановлюють кількісні залежності між розглянутими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному вимірюванню. Для побудови таких моделей зручно використовувати теорію графів. Граф – це математичний об'єкт, що представляє собою деяку множину точок (вершин) на площині або в просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних і результатів передбачення моделі можуть бути розділені на детерміністичні та ймовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають визначені, однозначні прогнози. Моделі другого типу базуються на статистичній інформації, а передбачення, отримані з їх допомогою, мають ймовірнісний характер.