1.2.4Перетворення двійкових чисел у десяткові

Щоб перетворити число із системи числення з основою в систему

де розрядні коефіцієнти записуються згідно з (2.3).

Для випадку перетворення двійкових чисел в десяткові формула

число на розряди.

Рис. 2.13. Відповідність цифри числа та розрядного коефіцієнту

1.2.5Недвійкове числення

Під час налагодження апаратних засобів (програм BIOS і т.д.) чи написання нових програм (особливо на мовах низького рівня типу асемблера або С) часто виникає необхідність заглянути в пам'ять машини, щоб оцінити її поточний стан. Однак там все заповнено довгими послідовностями нулів і одиниць, що вкрай незручно, адже природні

можливості людського мислення не дозволяють швидко і точно оцінити величину числа, представленого, наприклад, комбінацією з 16 нулів і одиниць.

Для полегшення сприйняття двійкового числа вирішили розбити його на групи розрядів, наприклад, по три розряди – тріади, чи чотири – тетради. Ця ідея виявилася вдалою, оскільки послідовність з 3 біт має 8 комбінацій, а послідовність з 4 біт – 16 комбінацій. Числа 8 і 16 – степені двійки, тому легко знаходити відповідність між двійковими числами. Розвиваючи цю ідею, дійшли висновку, що групи розрядів можна закодувати, скоротивши при цьому послідовність знаків.

Для кодування трьох бітів (тріад) потрібно 8 цифр, і тому узяли цифри від 0 до 7 десяткової системи. Для кодування чотирьох бітів (тетрад) необхідно 16 знаків, тому узяли 10 цифр десяткової системи і 6 букв латинського алфавіту: А, B, С, D, E, F. Отримані системи, що мають в основі числа 8 і 16, назвали відповідно вісімковою і шістнадцятковою. Відповідність між числами десяткової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення наведено в табл. 2.3.

Таблиця 2.3. Відповідність між десятковою, вісімковою та шістнадцятковою

системами числення

Перетворення «шіснадцяткова (вісімкова) – десяткова» і навпаки

Перетворення вісімкових і шістнадцяткових чисел в десяткові найпростіше можна виконувати, представляючи їх у вигляді суми:

(2.16)

де – основа системи числення, рівна відповідно 8 або 16, – розрядні коефіцієнти.

Отримані числа, виражені в десятковій системі необхідно додати. Для прикладу розглянемо перетворення із вісімкової системи в

десяткову числа 2417 . Для цього розіб’ємо це число на розряди, подібно як на рис. 2.13, після чого його можна подати у вигляді суми

2417 2·8 4·8 1·8 7·8

2·512 4·64 1·8 7·1 1024 256 8 7 1295

отже

2417 1295 .

Приклад перетворення із шістнадцяткової системи в десяткову число 50 . Це число є сумою чисел

шістнадцяткову можна скористатися методом послідовного ділення, тобто необхідно ділити перетворюване число на нову основу .

Для перетворення правильного дробу необхідно скористатися методом множення на основу нової системи числення.

Приклад: розглянемо перетворення числа із десяткової системи в вісімкову 0,6875 .

Перетворення «шіснадцяткова (вісімкова) – двійкова» і навпаки

Для перетворення чисел з вісімкової чи шістнадцяткої систем числення в двійкову систему можна скористатися табл. 2.4 і 2.5.

Для цього кожній цифрі вісімкового числа ставиться у відповідність із табл. 2.4 певна послідовність трьох двійкових чисел – тріада. Послідовність цих тріад утворює необхідне нам число у двійковій системі.

Таблиця 2.4.

Відповідність вісімкових чисел і двійкових тріад

Відповідно кожній цифрі шістнадцяткового числа ставиться у відповідність із табл. 2.5 певна послідовність чотирьох двійкових чисел – тетрада.

Таблиця 2.5. Відповідність шістнадцяткових чисел і двійкових тетрад

Для прикладу розглянемо перетворення кількох чисел з цих систем числення у двійкову систему

Перетворимо число 37162

таким чином

37162 11111001110010 .

Перетворимо число 80

таким чином

80 1011100000001111 .

Для перетворення числа з двійкової системи числення в вісімкову, двійкове число необхідно розбити на тріади і за табл. 2.4 підставити відповідні цифри. Для перетворення в шістнадцяткову систему двійкове число необхідно розбивати на тетради та шукати їм відповідність в табл. 2.5. Розбивати двійкове число на тріади чи тетради необхідно починаючи справа, при цьому для кратності кількості цифр в числі трьом чи чотирьом йому спереду дописують необхідну кількість нулів.

таким чином

11111001110010 37162 .