Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 11

Лекція 11. Первісна і невизначений інтеграл, властивості. Невизначене інтегрування заміною змінної та частинами

Інтегральне числення виникло внаслідок потреби створення методу обчислення площ плоских фігур, об'ємів та центрів тяжіння тіл тощо. У зародковому вигляді цей метод застосовувався ще Архімедом, а систематичного розвитку набув у 17 столітті у роботах Кавальєрі, Торічеллі, Ферма, Паскаля та інших вчених. У 1659 році англійський математик Барроу встановив зв'язок між задачею про знаходження площі та задачею про знаходження дотичної. Ньютон та Лейбніц у 70-х роках 17 століття поширили цей зв'язок від конкретних геометричних задач до диференціального та інтегрального числення, що дало поштовх розвитку техніки інтегрування. Сучасний вигляд методів інтегрування започаткований у роботах Л.Ейлера. Роботи М. Остроградського та П. Чебишова завершили розвиток цих методів.

1.Означення та властивості невизначеного інтеграла

1.1. Первісна. Невизначений інтеграл

З попередніх розділів відомо, що основним завданням диференціального числення є знаходження

відрізняються між собою на стале число: F1 (x) − F2 (x) = C .

˛Розглянемо допоміжну функцію ϕ(x) = F1 (x) − F2 (x) . Оскільки F1′(x) = f (x) , F2′(x) = f (x) , то

ϕ′(x) = F1′(x) −F2′(x) = f (x) − − f (x) ≡ 0 при довільному значенні x з інтервалу (a, b) . Із тотожної

рівності нулю похідної функції ϕ(x) на (a, b) випливає, що сама функція ϕ(x) є сталою на цьому

інтервалі, тобто ϕ(x) = F1 (x) − F2 (x) = C .

Геометрична інтерпретація теореми 1.1. Якщо y1 = F1 (x) та y2 = F2 (x) – первісні однієї і тієї ж функції f (x) , то величина F1 (x) − F2 (x) = y1 − y2 , що є відстанню між цими кривими вздовж осі OY , залишається сталою: F1 (x) − F2 (x) = C , тобто ці криві в певному розумінні "паралельні" між собою

(рис.1).

y

Рис.1. Сім'я первісних F(x) .

Зауваження. Як випливає із теореми, якщо відома хоча б одна первісна F (x) , то однопараметрична сім'я усіх первісних отримується додаванням довільної сталої: F (x) +C .

Функція f (x) називається підінтегральною функцією; f (x)dx – підінтегральним виразом; ∫ –

знак інтеграла; C – довільна стала. Зауважимо, що під знаком інтеграла " ∫ " записують диференціал

шуканої функції, а не похідну. Такий спосіб запису склався історично; він має ряд переваг, які стануть зрозумілими згодом.

Знаходження для функції усіх її первісних, що називається інтегруванням, і є одним з основних завдань інтегрального числення. Правильність знаходження інтеграла легко перевірити оберненою операцією диференціювання.

Виникає запитання: чи для довільної функції f (x) існує первісна та невизначений інтеграл? Справедлива наступна

Теорема 1.2. Якщо функція неперервна на інтервалі (a,b) , то для неї існує первісна та невизначений

інтеграл.

Цю теорему ми приймемо без доведення.

Надалі будемо говорити про первісні та інтеграли лише для неперервних функцій. Якщо ж функція має точки розриву, то її розглядатимемо лише на проміжках неперервності. Отже, немає необхідності кожен раз виясняти чи існує інтеграл: усі інтеграли, які ми розглядатимемо, існують.

2. Основні властивості невизначеного інтеграла та правила інтегрування

2.1.Основні властивості невизначеного інтеграла

1.Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто

2. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі функції та довільної сталої,

де F(x) – неперервно диференційовна функція.

∫dF(x) = ∫F ′(x)dx = ∫f (x)dx =F(x) +C .

Слід зазначити, що з першої властивості випливає, що комбінація символів d ∫ , застосована до виразу f (x)dx , взаємно знищується. З другої властивості випливає, що комбінація символів ∫d , застосована до функції F(x) , додає до цієї функції сталу C .

2.2. Таблиця основних інтегралів

Кожна формула диференціального числення, яка вказує, що для деякої функції F(x) існує похідна (F ′(x) = f (x)) , безпосередньо приводить до відповідної формули інтегрального числення

∫f (x)dx = F(x) +C . На підставі таблиці похідних запишемо таблицю інтегралів (її справедливість

легко перевірити диференціюванням: похідна від правої частини рівностей збігається з підінтегральною функцією).

Таблиця 1.

Доповнимо цю таблицю ще двома інтегралами, які часто використовуються (самостійно переконайтесь у їх справедливості диференціюванням правої та лівої частин рівності)

Інтеграли, що знаходяться безпосередньо з використанням формул 1– 16, називаються табличними. Приклад 2.1. Знайти інтеграли: а) ∫ xdx ; б) ∫4 +dyy 2 .

1

а) Перетворимо підінтегральну функцію x = x 2 і скористаємось формулою 3) табл. 1 при

б) Цей інтеграл можна знайти згідно з формулою 12) табл. 1 при a = 2 :

∫4 +dyy 2 = ∫22 dy+ y 2 = 12 arctg 2y + C .

Позначимо y = A∫f (x)dx і знайдемо диференціал лівої та правої частин рівності, враховуючи

(1.1):

dy = d (A∫f (x)dx)= Ad (∫f (x)dx)= Af (x)dx .

Звідси, інтегруючи, одержимо y = ∫Af (x)dx . Отже, A∫f (x)dx = ∫Af (x)dx .

Приклад 2.2. Обчислити інтеграл ∫sin3 x dx .

Винесемо сталий множник 13 за знак інтеграла та використаємо табл.1:

∫sin3 x dx = 13 ∫sin xdx = − 13 cos x +C .

Теорема 2.2. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює

де C1 , C2 , C3 – довільні сталі; C = C1 + C2 − C3 також є довільною сталою.

З формул (2.5), (2.6) дістанемо рівність (2.4).

Зауваження. У ліву і праву частини формул (2.3), (2.4) входять невизначені інтеграли, що містять довільні сталі інтегрування. Тому рівності такого типу розуміються як рівності двох множин, елементи яких відрізняються на сталу.

Приклад 2.3. Знайти ∫(x −3)2 dx .

Перетворимо підінтегральну функцію і використаємо по черзі властивості (2.4), (2.3):

Зауваження. Немає необхідності після кожного доданка записувати сталу інтегрування, адже сума довільних сталих є також сталою величиною, яку ми врахували в кінці і позначили C .

3.Основні методи інтегрування

Для знаходження інтегралів, що не є табличними, застосовуються спеціальні прийоми і методи інтегрування. Найбільш ефективними і широко вживаними є: 1) метод розкладу; 2) метод заміни змінної (підстановки); 3) метод інтегрування частинами.

3.1. Метод розкладу

Суть цього методу полягає у розкладі підінтегральної функції f (x) на суму декількох доданків, інтеграли від яких знаходяться безпосередньо. Отже, якщо f (x) = f1 (x) +... + f n (x) , то

∫ f (x)dx =∫ f1 (x)dx +... + ∫ f n (x)dx .

Приклад 3.1. Обчислити інтеграл ∫x 2x 2+1 dx .

Зведемо даний інтеграл до різниці табличних. Для цього у підінтегральному дробі виділимо цілу частину, додаючи і віднімаючи одиницю в чисельнику та почленно ділячи:

3.2. Метод заміни змінної

Нехай необхідно знайти інтеграл ∫f (x)dx , причому безпосередньо підібрати первісну для функції f (x) не вдається, хоча відомо, що вона існує. Зробимо заміну змінної x =ϕ(t) , де ϕ(t) – неперервнодиференційовна функція, що має обернену t =ϕ−1 (x) . Тоді dx =ϕ′(t)dt і справедлива формула

При знаходженні похідної правої частини використаємо формулу похідної складної функції:

dt

Отже, із рівності похідних випливає рівність самих невизначених інтегралів (у розумінні

де ϕ(x) = z ; ϕ′(x)dx = d (ϕ(x)) = dz .

Перетворення частини підінтегрального виразу ϕ′(x)dx = d (ϕ(x)) називається внесенням під знак

диференціала.

На підставі формули (3.2) можна записати

Алгоритм знаходження невизначеного інтеграла I = ∫f (ϕ(x)) ϕ′(x)dx .

1. Внесемо функцію ϕ′(x) під знак диференціала ϕ′(x)dx = d (ϕ(x)) . Матимемо

I= ∫f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫f (ϕ(x))d(ϕ(x)) .

2.Проведемо заміну ϕ(x) = z ; тоді I = ∫f (z)dz .

3.Знайдемо невизначений інтеграл ∫f (z)dz = F(z) +C .

4.Повернемось до змінної x : z =ϕ(x), звідки I = F (ϕ(x)) +C .

sin xdx = −d (cos x) , то, вважаючи, що cos x = z , перетворимо підінтегральний вираз

I = −∫d (cos x) = −∫dzz .

Знайдемо цей інтеграл та повернемось до змінної x , підставляючи cos x замість z :

I = −ln z + C = −ln cos x + C .

Зауважимо, що при виборі заміни ϕ(x) = z , яка спрощує підінтегральний вираз, необхідно пам'ятати, що у склад виразу обов'язково повинен входити множник ϕ′(x)dx , який дає диференціал нової

змінної dz . У попередньому прикладі заміна зумовлена існуванням множника sin xdx = −dz . Очевидно, що успіх інтегрування у значній мірі залежить від того, чи вдасться розшукати вдалу заміну змінних, яка б спростила інтеграл. Уміння підбору такої заміни виробляється в процесі розв'язування прикладів цього типу. Корисну інформацію, що полегшує такий підбір, подано у таблиці 2.Скористаємось даною таблицею для знаходження ще декількох інтегралів цього типу.