Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекція 5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

290.86 Кб

Скачать

☆

Лекція 5. Порівняння нескінченно малих. Техніка знаходження границь. Стандартні границі (перша та друга)

1. Невизначеності

Часто при обчисленні границь ми зустрічаємося зі ситуаціями, коли результат знаходження

границі не очевидний. Кажуть, що lim	f (x)	( a – скінченне, або дорівнює ∞,+∞,−∞), є
	g(x)
x→a

невизначеністю типу					0	, якщо lim f (x) = lim g(x) =0 , і записують lim


					0	x→a	x→a	x→a
Аналогічно:
	f (x)		∞	, якщо lim f (x) = lim g(x) =∞ ;
а) lim		=
а) lim	g(x)	=
x→a	g(x)		∞			x→a	x→a

б) lim( f (x) − g(x)) ={∞ −∞} , якщо lim f (x) = lim g(x) = +∞;
x→a	x→a	x→a

в) lim( f (x) g(x)) ={0 ∞} , якщо lim f (x) =0 , lim g(x) =∞;
x→a	x→a	x→a
г) lim[ f ( x)]g( x) ={00 }, якщо lim f (x) = lim g(x) =0 ;
x→a	x→a	x→a
д) lim[ f ( x)]g( x) ={∞0}, якщо lim f (x) =∞, lim g(x) =0 ;
x→a	x→a	x→a
е) lim[ f (x)]g( x) ={1∞}	, якщо lim f (x) =1 , lim g(x) =∞.
x→a	x→a	x→a

f (x) = 0 . g(x) 0

2. Важливі границі

При обчисленні границь часто використовують наступні формули:

lim

sin x

– перша важлива границя;

x→0

∞

= lim (1 + y)y

– друга важлива границя.

lim 1 +

={1 }= e

x→∞

y→0

Ірраціональне число e ≈2,718281 називається числом Ейлера.

3. Розв’язування задач

Приклад 1. Обчислити границі:

2x3 −3

4 x8 −3x2

а)

lim

;

б)

lim

;

в) lim x

+ x − x

− x .

+ x −2

x→∞ 5x4

x→∞ 3x2 +

x→∞

а) Маємо невизначеність типу ∞	. Враховуючи, що поведінка чисельника і	знаменника
∞
при x → ∞ визначається членами з найбільшими показниками степенів (відповідно		2x3 і 5x4 ),

поділимо чисельник і знаменник на x4 , тобто на вираз з найбільшим показником степеня x у чисельнику і знаменнику. Використовуючи теореми про границі, отримаємо:

2x3

−3

∞

−

0 −0

lim

= lim

= 0 .

+0 −0

x→∞ 5x4 + x −2

∞

x→∞

x→∞ 5

−

Зауваження. Використовуючи цей самий прийом, можна показати, що


	a xn + a xn−1							0, якщо n < m,
	a xn + a xn−1		+... + a	x + a	n		∞	a
lim	0	1	n−1		n	=		=	0	, якщо n = m,
lim			+... +b	x +b		=		=	b	, якщо n = m,
x→∞ b xm +b xm−1			+... +b	x +b			∞		b
	0	1	m−1		m				0

								∞, якщо n > m,

тобто границя відношення двох многочленів	lim	Pn	(x)	дорівнює нулю, відношенню
			(x)
	x→∞ Q
		m

коефіцієнтів при старших степенях x або ∞, якщо найбільший показник степеня чисельника n відповідно менший, дорівнює або більший, ніж найбільший показник степеня знаменника m .

б) Маємо невизначеність типу ∞

. Тут виразу в чисельнику умовно можна приписати степінь

∞

n =

= 2 , а виразу в знаменнику –

m = 2 ; оскільки

n = m , то на підставі зауваження шукана

границя дорівнює 1 / 3 . Дійсно, поділивши чисельник і знаменник дробу на x2 , отримаємо:

4 x8 −

3x2

1 −

∞

= lim

lim

∞

→∞ 3x2 + x

x→∞

в)

Для

розкриття

невизначеності

типу

{∞ − ∞}

помножимо і поділимо вираз в

дужках на

спряжений до нього вираз:

xlim→∞

(

x2 + x −

x2 − x )

={∞ −∞}=

= lim

(

x2 + x − x2 − x )( x2 + x + x2 − x )

( x2 + x + x2 − x )

x→∞

∞

= lim

(

x2 + x + x2 − x )

x→∞

∞

= lim

=1.

1 +1

x→∞

1 +

1 −

Приклад 2. Знайти границі:

а)

lim 3x 2 + 4x − 4

;

б)

lim

3x +1 −

5 − x

;

в)

lim

3 8 −3x −2

x2 + x − 2

x→−2

x2 − 4

x→1

x→0

а) Для розкриття невизначеності типу

розкладемо чисельник і знаменник на множники і

скоротимо дріб на множник (x + 2) : скорочення можливе, бо при x → −2 вираз (x + 2)

прямує до

нуля, але не дорівнює нулю.

+ 4x −4

3 x −

(x + 2)

3x −2

3 (−2)

−2

lim

= lim

= 2.

x2 −4

−2)(x +

−2

−

x→−2

→−2 (x

→−2

б) Маємо невизначеність типу

. Помноживши чисельник і знаменник на вираз, спряжений

до чисельника, отримаємо:

lim

3x +1 − 5 − x

= lim

( 3x +1 − 5 − x )( 3x +1 + 5 − x )

− 2)( 3x +1 + 5 − x )

x→1

x2 + x − 2

x→1

2 + x

= lim

4(x −1)

= lim

x→1 (x −1)(x + 2)

(

3x +1 +

5 − x )

x→1 (x + 2)(

3x +1 +

5 − x )

(

−3x −

(

−

3x )

+ 2

8 −3x +

8 −3x −2

в) lim

= lim

3x )

x→0

8 −

x (

8 −3x +4

= lim

(8 −3x)−8

= lim

−3

= −

1 .

(3 8 −3x )2 +2 3 8 −3x +4

(3 8 −3x )2 +2 3 8 −3x + 4

x→0 x

x→0

Приклад 3. Обчислити границі:

а) lim sin 4x ;

б)

lim(1 − x)tg πx .

x→0 sin 8x

x→1

а) Використовуючи першу важливу границю, отримаємо

sin 4x

sin 8x

lim

(1 : 1)

x→0 sin 8x

2 x→0

б) При x →1 маємо невизначеність типу {0 ∞} . Зробимо заміну 1− x = y , тоді x =1− y і y → 0 при x →1 . Отримаємо

lim(1 − x)tg

πx

−

πy

= lim y ctg

πy

{0 ∞} = lim y tg

x→1

y→0

sin

π y

sin

π y

= lim cos

lim

=1:

y→0

2 y→0

π y

Приклад 4. Знайти:

2x +3 3x

−

а)

lim

;

б)

lim (cos x)

x→∞

2x +1

x→0

а) Маємо невизначеність типу

{1∞},

оскільки

lim

2x + 3

=1 ,

lim 3x = ∞ . На підставі другої

2x +1

x→∞

важливої границі і теореми про границю функції [ f (x)]g ( x)

отримаємо:

2 x+1

2 3x

2 x+1

∞

2 2

lim

{1 }

lim 1 +

= lim

1 +

x→∞ 2x

x→∞

2x +1

2 x+1

lim

6 x

x→∞2 x

= e

lim

1 +

x→∞

−

}= lim (1 +cos x

−

2 x

−

б) lim

(cos x)

∞

−1)

= lim

−2sin

x→0

2sin2

lim

2 lim

sin

−

x→0

2sin

e .

= e

lim

1 −2sin

x→0

Соседние файлы в папке 2. Лекції

#
12.02.2016311.55 Кб39Лекція 20.pdf
#
12.02.2016320.03 Кб43Лекція 21.pdf
#
12.02.2016323.33 Кб40Лекція 24.pdf
#
12.02.2016360.11 Кб59Лекція 3.pdf
#
12.02.2016247.27 Кб50Лекція 4.pdf
#
12.02.2016290.86 Кб45Лекція 5.pdf
#
12.02.2016353.87 Кб40Лекція 6.pdf
#
12.02.2016348.6 Кб40Лекція 7.pdf
#
12.02.2016338.5 Кб39Лекція 8.pdf