Інтервал: (a;b) ={x

| a < x <b} .

Поряд

з

ними

розглядаються

нескінченні

інтервали

та

півінтервали:

ε -околом

точки

x0 :

Uε ( x0 ) ={x

| x0 −ε < x < x0 +ε}

(рис.

3

г)).

Множину

U ε (x0 ) =Uε (x0 ) \ {x0 }називають проколотим ε -околом точки x0 .

a

a)

b

a

b

a

б)

b

a

в)

b

x0

+ε

-ε

x0

x0

г)

x0

x

+ε

-ε

0

x0

д)

Рис. 3. Підмножини множини

:

а) відрізок; б) півінтервали; в) інтервал;

г) ε -окіл;

д) проколотий ε -окіл

Наприклад,

якщо

тіло рухається рівномірно,

то s =vt , де шлях s і

час

t – змінні величини,

швидкість v

– стала величина.

Означення 6. Якщо кожному елементу x X

ставиться у відповідність певний єдиний елемент

y Y , то говорять, що на множині X задана функція y = f (x) .

При цьому x

називають незалежною змінною (або аргументом), а

y

– залежною змінною.

Символ f означає закон відповідності між x і y .

Множину

X

називають областю визначення функції і позначають

D( f ) , а множину Y –

означенні

відкинути умову єдиності елемента y E( f ) , то

прийдемо

до більш загального

поняття –

так званої багатозначної функції, яка допускає, щоб кожному значенню x D( f )

відповідало не одне, а декілька (можливо, безліч) значень

y E( f ) .

Надалі, говорячи про

функцію, матимемо на увазі лише однозначну функцію.

y =

4 − x2

+log2 (x +1).

x

Областю визначення даної функції є всі значення x , які задовольняють умови:

4 − x2 ≥ 0

(x −2)(x + 2) ≤ 0

≠ 0

.

x

x ≠ 0

+1 > 0

x

x > −1

Отже, область визначення заданої функції x (−1;0) (0;2] .

Областю визначення функції може бути вся числова вісь

або перераховані вище підмножини

допомогою формули. Розглянемо деякі різновиди аналітичного способу задання функції.

а)

Якщо залежність між x і y

задана у вигляді

y = f (x) , то кажуть,

що функція f

задана явно.

Наприклад,

y =3x + 2 , y = x2 +sin x .

б) Якщо змінні

x

і

y пов’язані між собою рівнянням вигляду

F(x, y) =0 , тобто не розв’язаним

відносно y або x , то кажуть, що функція y = f (x) задана неявно. Наприклад,

tg (x + y) − x − y = 0 .

Інколи рівняння

F(x, y) =0 можна розв'язати

щодо

x

або

y

і

звести до функції, заданої

аналітично:

y = f (x)

або x = g( y) . Наприклад,

рівність

x2

+ y 2

− 4 = 0 , що задає коло радіуса 2

з

центром в початку координат, неявно визначає такі функції:

y =

4 − x2 , −2 ≤ x ≤ 2 (верхнє півколо) і

y = −

4 − x2 , −2 ≤ x ≤ 2

(нижнє

півколо)

або

x =

4 − y2 , −2 ≤ y ≤ 2

(праве

півколо)

і

x = −

4 − y2 , −2 ≤ y ≤ 2

(ліве півколо).

в)

Якщо

x і y

задаються як функції допоміжної змінної – параметра t ,

то кажуть, що функція

задана параметрично. Наприклад, параметричне рівняння еліпса

x2

+

y

2

=1 має вигляд

a2

b

2

x = a cos t

, t [0; 2π] .

=bsin t

y

для випадку двох підмножин

f

1

(x),

x D( f

1

)

.

y = f (x) =

f2 (x),

x D( f2 )

x

x1

x2

…

xi

xi+1

…

xn

y

y1

y2

…

yi

yi+1

…

yn