Лекція 1. Множини, дії з ними, відображення множин, послідовністъ, функція, функціонал, оператор. Класифікація функцій, елементарні функції.
1. Множини. Дії над множинами
Поняття множини належить до числа первинних, що не визначаються через більш прості. Під множиною розуміють сукупність (набір) деяких об’єктів однакової природи. Об’єкти, які утворюють множину, називаються її елементами. Приклади множин: множина студентів даного вузу, множина підприємств даної галузі, множина натуральних чисел.
Множини позначатимемо великими буквами A, B, C,..., а їх елементи – малими буквами a, b, c ,….
Якщо a є елементом множини A , то використовується запис a A . Якщо b не є елементом множини A , то пишуть b A .
Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається символом . Наприклад, множина трикутників в евклідовому просторі, сума кутів кожного з яких відмінна від
180 , є порожньою множиною.
Множина називається скінченною, якщо вона складається зі скінченного числа елементів, і нескінченною, якщо вона складається з нескінченного числа елементів. Серед нескінченних множин виділяють зліченні множини, тобто такі множини, кожному елементу яких можна поставити у відповідність натуральне число (номер).
Означення |
1. |
Дві множини A і B називаються рівними (записують A = B ), якщо вони |
складаються з однакових елементів. |
||
Означення |
2. |
Множина B називається підмножиною множини A (записують B A ), якщо |
кожен елемент множини B належить множині A .
Наприклад, якщо A – множина всіх студентів вузу, а B – множина студентів-першокурсників цього вузу, тоB є підмножиною A , тобто B A . Якщо A B і B A , то A = B .
Означення 3. Перетином (або добутком) двох множин |
A і B |
|
|
|
||
(його позначають C = A ∩ B або C = AB ) називається множина C елементів, які одночасно |
||||||
належать кожній із даних множин A і B . |
|
|
|
|
||
Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то A ∩ B = . |
|
|
|
|||
Означення 4. Об’єднанням (або сумою) двох множин A і B (його позначають |
D = A B або |
|||||
D = A + B ) називається множина D , елементи якої належать хоча б одній з множин A або |
||||||
B . |
|
|
|
|
|
|
Означення 5. Різницею множин A |
і B (її позначають E = A \ B |
або E = A − B ) |
називається |
|||
множина E , яка складається із тих елементів множини A , що не належать множині B . |
||||||
Іноді використовується поняття симетричної різниці множин A і B , яка визначається правилом: |
||||||
A B = (A \ B) (B \ A). |
Симетричну |
різницю множин |
можна |
обчислювати |
за |
формулою: |
A B = (A B )\ (A ∩B). |
|
|
|
|
|
|
Приклад 1. Дано |
множини A = {1;3;6;8}, B ={2;4;6;8} . |
Знайти об’єднання, перетин, різницю і |
||||
симетричну різницю множин A і B . |
|
|
|
|
||
Очевидно, що об’єднання двох даних множин A B ={1;2;3;4;6;8} , їх перетин |
A ∩ B ={6;8} , а |
|||||
різниця A \ B ={1;3} . Симетрична різниця множин A і B : A B ={1; 2; 3; 4}. |
|
|
||||
Для наочного зображення множин, підмножин, перетину, об’єднання, різниці і симетричної різниці множин застосовують кругові діаграми Ейлера-Вена (рис.1).
|
A2 |
A1 |
A2 |
|
A1 |
||
|
|
|
|
a) |
|
б) |
|
A1 |
A2 |
A1 |
A2 |
в) |
|
г) |
|
A1 A2
д)
Рис.1. Діаграми Ейлера-Вена
а) вкладення множин A1 A2 ; б) перетин множин A1 ∩ A2 ; в) об’єднання множин A1 A2 ; г) різниця множин A1 \ A2 ; д) симетрична різниця множин A1 A2 .
2. Множина дійсних чисел та її підмножини
Множина, елементами якої є числа, називається числовою множиною. Загальноприйнятими є такі позначення:
={1;2;3;...}– множина всіх натуральних чисел;
={... −3;−2; −1;0;1;2;...} – множина всіх цілих чисел;
m |
|
m , n |
|
– множина всіх раціональних чисел. |
|
||||
= |
|
|
||
n |
|
|
|
|
Кожне раціональне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу або
нескінченного періодичного десяткового дробу: |
4 |
= 0,8; |
5 |
= 0,1515... = 0, (15). Як це не здається дивним, |
|||||||||||
|
33 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
але раціональних чисел є дуже “мало”. Всі вони утворюють лише зліченну множину. |
|
|
|||||||||||||
Ірраціональне число |
– це |
нескінченний |
неперіодичний десятковий дріб. Наприклад, |
||||||||||||
2 =1,41421...; π =3,1415... . |
Іншими |
словами, |
ірраціональне число |
не |
можна |
зобразити |
як |
||||||||
відношення цілих чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Показати, що число lg 5 |
ірраціональне. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Припустимо, що число lg 5 |
раціональне, тобто існують такі цілі числа m і |
n , що lg 5 = m . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Тоді 10m =5n . Але це неможливо, бо 10m закінчується цифрою 0, а 5n – цифрою 5. Отже, число |
|||||||||||||||
lg 5 ірраціональне. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Літерою |
позначають |
множину |
всіх дійсних |
чисел, |
елементами |
якої |
є всі |
раціональні |
та |
||||||
ірраціональні числа. Маємо такі вкладення множин: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
Геометрично множина дійсних чисел |
зображається точками числової прямої (або числової |
||||||||||||||
осі), тобто прямої, на якій вибрано початок відліку, додатній напрям і одиницю масштабу (рис.2). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. Числова пряма |
|
|
|
|
||||||
Між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємнооднозначна відповідність, тобто кожному дійсному числу відповідає єдина точка на числовій прямій і навпаки, кожній точці прямої – певне дійсне число. Тому часто замість “число x ” говорять “точка x ”.
Означимо деякі підмножини множини дійсних чисел (рис. 3).
Відрізок: [a;b] ={x | a ≤ x ≤ b} .