Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекція 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

338.5 Кб

Скачать

☆

Лекція 8. Теореми про диференційовні функції (Ролля, Лагранжа, Коші, Лопіталя). Формули Тейлора і Маклорена

1.Основні теореми диференціального числення

Розглянемо тепер деякі теореми диференціального числення, що стосуються диференційовних функцій. Ці теореми є корисними при розв'язуванні багатьох задач та дослідженні графіків функцій.

Теорема Ферма. Якщо диференційовна на [a;b] функція y = f (x) досягає найбільшого або найменшого значення у внутрішній точці x0 цього відрізку, то похідна функції в цій точці

дорівнює нулю, тобто f ′(x0 ) = 0 .

Геометричний зміст теореми Ферма очевидний: в точці найбільшого або найменшого значення, яке досягається всередині [a;b] , дотична до графіка функції паралельна до осі абсцис (рис. 1).

Рис. 1. Геометрична інтерпретація теореми Ферма

Теорема Ферма може бути використана для доведення так званих теорем про середнє – теорем Ролля і Лагранжа.

Теорема Ролля. Нехай функція y = f (x) задовольняє наступні умови:

1)неперервна на відрізку [a;b] ;

2)диференційовна на інтервалі (a;b) ;

3)на кінцях відрізка має однакові значення, тобто f (a) = f (b) .

Тоді всередині відрізка існує принаймні одна така точка ξ (a;b) , в якій похідна функції дорівнює нулю: f ′(ξ) = 0 .

Зауважимо, що таких точок ξ на інтервалі (a;b) може бути декілька (рис.2).

f(a)

0	a	ξ	1	ξ	2	b	x
			1		2

Рис 2. Геометрична інтерпретація теореми Ролля

Теоремі Ролля можна надати механічне тлумачення. Нехай точка здійснює рух в додатньому напрямі осі Ox , перебуваючи в момент часу ta у точці з координатою xa . Для того, щоб точка знову

опинилася в момент часу tb

(tb > ta )

в точці xa ,

тобто повернулась назад, обов'язково в якийсь

момент часу t0 (ta ; tb )

її швидкість має дорівнювати нулю (зміна напрямку руху на протилежний).

Швидкість руху точки ν

′

= 0 .

(t) = x (t) . Отже, знайдеться принаймі одна точка t0 , в якій ν(t0 )

Приклад 1.

Довести,

що на

інтервалі

(−1;1) існує така

точка

c ,

що

для

функції

f (x) = arctg(x

−1) − x

+1 похідна в цій точці дорівнює нулю, тобто

f (c) = 0 .

′

Функція

f (x) = arctg(x2 −1) − x4 +1 на відрізку [−1;1] задовольняє всі

умови теореми

Ролля.

Дійсно, дана функція є елементарна і тому неперервна на [−1;1]. ЇЇ похідна

′

f (x) =

−4x

+ (x2 −1)2

визначена на (−1;1) і f (−1) = f (1) = 0 . Тому, згідно з теоремою Ролля, на інтервалі (−1;1) існує така точка c , в якій f ′(c) = 0 .

Теорема Лагранжа. Нехай функція y = f (x) задовольняє такі умови:

1)неперервна на відрізку [a;b] ;

2)диференційовна на інтервалі (a;b) .

Тоді всередині відрізка існує принаймні одна така точка ξ (a;b) , в якій похідна дорівнює відношенню приросту функції на цьому відрізку до довжини відрізку, тобто

′	f (b) − f (a)
f (ξ) =		.
	b −a
Геометричний зміст теореми Лагранжа: на інтервалі (a;b) існує така точка ξ , що дотична до
графіка функції	y = f (x) в точці з координатами (ξ; f (ξ)) нахилена під кутом φ = arctg		f (b)− f (a )
			b −a
(рис. 3). Очевидно, що tgφ =		′

		f (ζ ) .

y f(b)

f(a)	φ	φ
	φ	φ
0	a	ξ	b	x

Pис.3. Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа

2. Правило Лопіталя

Похідна функції може ефективно використовуватися під час обчислення границь для розкриття

невизначеностей типу

∞

lim

f ( x) = 0 і

lim ϕ(x) = 0 , тобто f (x) і

або

. Припустимо, що

∞

x→x0

( x→∞)

ϕ(x) є нескінченно малі при

x → x0

(x → ∞) . Можна також розглянути випадки

lim f (x) = ∞ ,

x→x0

( x→∞)

lim ϕ(x) = ∞,

тобто f (x)

ϕ(x)

є нескінченно великі при

x → x0

(x → ∞) . У кожному випадку

x→x0

( x→∞)

границя

lim

f (x)

призводить

до

невизначеностей

або

∞

. Розкриття

такого типу

ϕ(x)

x→x0

∞

( x→∞)

невизначеностей часто можна здійснити на підставі правила Лопіталя, яке сформулюємо у вигляді такої теореми.

Теорема. Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання границя існує (скінченна або безмежна).

0 ,0

	0		∞
Тобто для невизначеностей типу		або		можна застосувати формулу:

	0		∞

lim	f ( x)	=	lim	f ′( x)	.	(1)
	ϕ( x)
x→x0			x→x0	ϕ′( x)
( x→∞)			( x→∞)

Зауважимо, що в правій частині останньої формули записана частка похідних, а не похідна частки.

Приклад 2. Знайти lim x2 −1 +ln x .
x→1	ex −e

Чисельник і знаменник окремо прямують до нуля при x →1 , а тому маємо невизначеність

типу

. Скористаємося правилом Лопіталя, тобто знайдемо границю відношення похідних

чисельника і знаменника

−1 + ln x

2x +

lim

= lim

ex −e

x→1

Якщо частка

f ′(x)

при x → x0 (x → ∞)

залишається невизначеністю типу

′

(x)

потрібно перейти до відношення других похідних:

lim

f ′(x)

lim

f ′′(x)

і т.д.

ϕ′(x)

ϕ′′(x)

x→x0

( x→∞)

Приклад 3. Знайти lim

e3x −3x −1

x→0

sin2 5x

−3x −

′

lim

−3x −1

= lim

(

)

= lim

−3

x→0

sin2 5x

x→0

(sin2 5x)′

x→0

2sin 5x cos5x 5

lim

e3x

−1

lim

3e3x

10cos10x

5 x→0 sin10x

5 x→0

0	або	∞	, то


0		∞

У випадку

невизначеності типу

{0 ∞}

або

{∞ −∞}

потрібно

алгебраїчно перетворити дану

∞

функцію так,

щоб звести її до невизначеності типу

або

і далі застосовувати правило

Лопіталя.

∞

Приклад 4. Знайти границі:

а) lim(x

ln x) ;

б)

lim

−

−1

x→0

а) Тут маємо невизначеність типу {0 ∞} .

Запишемо добуток функцій у вигляді частки, а

потім, отримавши невизначеність типу ∞

, застосуємо формулу (2.1):

∞

lim(x

ln x) ={0 ∞}= lim

ln x

∞

1/ x

lim x

= 0 .

= lim

= −

1/ x2

x→0

∞

→0 −2 / x3

2 x→0

б) У цьому прикладі маємо невизначеність типу {∞ − ∞}. Для того, щоб знайти границю цієї функції, зведемо дроби до спільного знаменника, а потім, отримавши невизначеність типу застосуємо правило Лопіталя:

={∞ −∞}= lim

ex −1 − x

ex −1

lim

−

= lim

x(e

−1)

−1 + xe

x→0

−1

x→0

x→0 e

0		ex			1	.
= =	= lim			=
			+ x)		2
0	x→0 ex (2

Якщо маємо справу з невизначеностями типу {00 }, {∞0 } або {1∞}, то потрібно попередньо прологарифмувати дану функцію і знайти границю її логарифма.

Приклад 5. Знайти:

а) lim(sin 2x) x ;

б)

lim(3 − 2x)1/ sin πx .

x→0

→1

а) Це невизначеність типу {00}.

Позначимо дану функцію через

I, тобто I = (sin 2x) x , і

прологарифмуємо її:

ln I = x ln(sin 2x) . Обчислимо границю даної функції,

застосовуючи формулу

(1):

ln (sin 2x)

lim ln I = lim x ln (sin 2x)={0 ∞}= lim

∞

x→0

→0

∞

2 cos 2x

2x2 cos 2x

= lim

sin 2x

= −lim

= −lim 2 cos 2x lim

x→0

sin 2x

x→0

x→0 sin 2x

−

= 0 .

= −2 lim

2 cos 2x

x→0

Отже,

lim I = e0 =1 .

x→0

(limx→1 I ={1∞}).

б) Покладаємо I = (3 −2x)1/ sinπ x

Логарифмуючи і застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо

ln(3 − 2x)

(−2)

lim ln I = lim

= lim

3 − 2x

x→1

sinπ x

x→1

π cosπ x

Таким чином,

lim I = e2 /π .

x→0

3. Формули Тейлора і Маклорена

Нехай многочлен

P(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 +... + an x n

потрібно розвинути за степенями (x − x0 ) , де x0 – деяке число, тобто многочлен необхідно записати у вигляді

P(x) = A	+ A (x − x	0	) +... + A (x − x	0	)n ,	(2)
0	1	0	n	0

де A0 , A1,..., An – невідомі коефіцієнти. Покладаючи x = x0 в останній рівності, отримаємо P(x0 ) = A0 . Обчислюючи похідні P′( x0 ), P′′( x0 ),..., P(n) ( x0 ) , знайдемо послідовно всі коефіцієнти Ai (i =1,2,..., n) :

= P′(x0 ), A2

P′′(x0 )

,...,

An =

P (n) (x0 )

Підставляючи коефіцієнти Ai в розклад (3.1), отримаємо формулу Тейлора для многочлена:

P( x) = P( x0 ) + P′( x0 )( x − x0 ) +

P′′( x0 )

( x − x0 )2 +...

P( n) ( x0 )

( x − x0 )n . Формулу

Тейлора

можна

записати для довільної функції

f (x) , яка диференційована (n +1)

раз включно в околі точки x0 :

f (x) = f (x0 ) +

f ′(x0 )

(x − x0 ) +... +

f (n) (x0 )

(x − x0 ) n + Rn (x) .

f (x)

крім тейлорівського многочлена

Як бачимо, у формулі Тейлора для довільної функції

f (k ) (x

)

∑

(x − x0 )k степеня

n присутній доданок Rn (x) ,

який називають залишковим членом.

k =0

Залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

(x)=

f (n+1) (ξ)

( x − x

)n+1,

(n +1)!

де точка ξ

розміщенa між точками x і x0 . Очевидно, що для многочленів Rn (x)≡ 0 .

Формула Тейлора при x0 = 0 називається формулою Маклорена:

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x +... +

f (n) (0)

xn +

f (n+1) (ξ)

xn+1 .

(n +1)!

Формули Тейлора і Маклорена часто використовуються в прикладних задачах. Так за допомогою цих формул складні функції з великою точністю заміняються многочленами. Крім того, вони часто використовуються при складанні таблиць наближених значень функцій. Залишковий член Rn (x)

характеризує точність наближення, тобто показує різницю між значенням функції і значенням тейлорівського многочлена.

Приклад 6. Розкласти за формулою Маклорена функцію y = sin x . Маємо

f (x) = sin x,

f (x) = cos x,

f (x) = −sin x, f (x) = −cos x,

(x) = sin x

т.д.

Звідси,

′

′′

′′′

f (0) = 0, f ′(0) =1,

f ′′(0) = 0,

f ′′′(x) = −1, f IV (0) = 0 і т.д.

На основі формули Маклорена отримуємо:

sin x = x −

−

+... +

(−1)n+1 x2n−1

+ R2n (x) ,

(2n −1)!

де залишок

R2n = (−1)n cosξ

x2n+1

(2n +1)!

Соседние файлы в папке 2. Лекції

#
12.02.2016360.11 Кб59Лекція 3.pdf
#
12.02.2016247.27 Кб50Лекція 4.pdf
#
12.02.2016290.86 Кб45Лекція 5.pdf
#
12.02.2016353.87 Кб40Лекція 6.pdf
#
12.02.2016348.6 Кб40Лекція 7.pdf
#
12.02.2016338.5 Кб39Лекція 8.pdf