Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 6

Нехай точка рухається

вздовж деякої прямої за законом =s (s)t, де t – час, s(t) –

шлях,

пройдений за час t . Необхідно знайти v(t) – швидкість точки в момент t . Така швидкість

точки

називається миттєвою.

s

s(t+

B

t)

0

t

t+ t

t

Рис. 1. Геометрична інтерпретація середньої швидкості руху

На момент часу t

пройдений шлях дорівнює s = s(t) , а на момент (t +

t) – шлях s(t + t) = s + s

(рис. 1). Тоді за проміжок часу t середня швидкість буде рівна v

=

s . Очевидно, чим менший

cep.

t

проміжок часу t ,

тим середня швидкість vcep. буде

ближчою до

v(t) . Отже, миттєву швидкість

будемо ототожнювати з границею

def

= lim

s .

(1)

v(t) = lim v

t→0

cep.

t→0

t

y

y0+ y

M1

січна

y

дотична

y0

M0

N

α

ϕ

0

x0

x

x0+ x

x

Нехай

до кривої y = f (x) проведена дотична

в точці M 0 (x0 ; f (x0 )) . Нормаллю до кривої

y = f (x)

в точці M 0 (x0 ; f (x0 )) називається пряма,

яка перпендикулярна до дотичної і проходить

коефіцієнт нормалі kн. = −

1

, а рівняння нормалі запишеться у вигляді:

f ′(x0 )

y − f (x0 ) = −

1

(x − x0 ) .

f ′(x0 )

y

y=f(x)

нормаль

M0

дотична

y0

0

x0

x

Рис.3. Дотична і нормаль

Економічний зміст похідної: якщо u =u(t) – кількість виробленої продукції за час t , то u′(t0 ) є

продуктивність праці в момент часу t =t0 (формулою (4)).

Приклад 2.1. Використовуючи означення похідної, знайти похідні функцій:

а) y = x2 +3x −1 ;

б)

y = sin 2x .

а) Надамо змінній x

приріст x , тоді функція y

отримає приріст y :

y + y = y (x + x)= (x + x)2 +3(x + x)−1

Відніманням визначаємо

y :

y =

2x x + x2 +3 x

= 2x +Δx +3 .

x

x

x →0 :

Знайдемо границю цього відношення при

lim

y

= lim (2x + x +3)= 2x +3 .

x→0

x

x→0

Отже, за означенням похідної (див. формулу (5))

y′ = 2x +3 .

б)

Знаходимо

приріст

функції

y = sin 2(x + x)−sin 2x . Скористаємося формулою

sinα −sin β = 2sin α − β cos α + β

, згідно з якою

2

2

y = 2 sin

2x + 2

x −2x

cos

2x + 2

x + 2x

= 2 sin x cos (2x +

x).

2

2

За формулою (5), використовуючи першу важливу границю, отримаємо

y′= lim

2sin

x cos (2x + x)

= 2 lim sin

x

lim cos (2x +Δx)= 2 cos 2x .

x

x→0

x

x→0

x→0

Приклад 2.2. Чи є функція y =| x |

диференційовною в точці x =0 ?

Згідно з означенням похідної

′

y

|

x + x | − | x |

;

′

|

x |

.

y (x)

= lim

=

lim

y (0) = lim

x

x

x

x→0

x→0

x→0

Якщо

x > 0 , то | x |=

x і

y

=1 ; якщо x < 0 , то | x |= − x і

y

= −1 .

x

x

Отже,

функція y =| x |

не є диференційовна в точці

x =0 .

Геометрично це означає відсутність

дотичної до кривої в точці x =0 (рис. 4).

y

y

1

0

x

0

x

-1

Рис.4. Функція y =

x

та її похідна

Обернене твердження неправильне: якщо функція неперервна в точці

x0 , то вона не обов’язково

диференційовна в цій точці. Наприклад, функції y =| x |, y =3 x2

є неперервними, але не

диференційовними в точці x = 0 .

3. Правила диференціювання

3.1. Основні правила і формули диференціювання

1. Похідна сталої дорівнює нулю: C′=0 .

(uv)

′

′

′

.

= u v +uv

4. Сталий множник можна винести за знак похідної:

(cu)′= cu′.

5. Похідна частки двох диференційовних функцій обчислюється за формулою:

′

′

′

u

=

u v −uv

, при v ≠ 0 .

v

2

v

6. Якщо y = f (u) і u =ϕ(x) – диференційовні функції, то складена функція y = f (ϕ(x))

також

диференційовна, і похідна її обчислюється за формулою

y′x = fu′(u)

u=ϕ( x) u′x ( x) .

x = f −1 ( y) (якщо вона

7. Якщо функція y = f (x) диференційовна,

то обернена до неї функція

існує) також диференційовна, і похідна її обчислюється за формулою

′

=

1

, при

′

′

xy

yx ≠ 0 .

yx

Для

прикладу

доведемо

правило

3.

Нехай

y =u(x)v(x) .

Тоді

y =(u +

u)(v +

v) −uv =

uv +u

v + u

v . Отже, за означенням похідної:

y′= lim

y =

lim

uv +u

v + u

v = lim

u v +u v +

u

v

=

′

′

′

′

′

x

→

0

x

x

→

0

x

x

→

x

x

x

+u

lim

.

0

= u v +uv

v = u v +uv

x→0