Лекції та практичні з МатАналізу / 2. Лекції / Лекція 7

Таблиця 1.

№n/n

Функція y

Похідна y′

№n/

Функція

Похідна y′

n

y

1.

C

0

10.

sin u

cosuu′

2.

x

1

11.

cosu

−sin u u′

3.

un

nun−1u′

12.

tg u

1

u′

cos2 u

4.

1

1

u′

13.

ctg u

1

u′

u

−

−

u2

sin2 u

5.

u

1

u′

14.

arcsin u

1

u′

2 u

1 −u2

6.

eu

eu u′

15.

arccosu

1

′

−

1 −u2 u

7.

au

au ln a u′

16.

arctg u

1

u′

1 +u2

8.

ln u

1

17.

arcctg u

1

u u′

−

u′

1 +u2

9.

loga u

1

u′

u ln a

Приклад 1. Знайти похідні функцій:

а)

y = 3x2 ln4 x + 3 tg x ;

б) y =

arctge2 x

.

sin 3x

а) При диференціюванні слід врахувати, що перший доданок є добутком двох функцій 3x2 і

ln4 x , кожна з яких є складеною функцією

( y1 =3u1 ,

де u1 = x2 ; y2 = u24 , де u2 = ln x) , другий

доданок – також складна функція ( y3 = 3 u3 , де u3 = tg x) :

y′= (3x2 ln4 x)′ +(3 tg x )′ = (3x2 )′ln4 x + 3x2

(ln4 x)′ +((tgx)1/ 3 )′ =

= 3x2 ln 3(x2 )′ln4 x +3x2 4 ln3 x (ln x)′ + 1 (tg x)−2 / 3 (tg x )′ =

3

=3x2 ln 3 2x ln4 x +

43x2 ln3 x

+

1

.

x

33 tg2 x cos2 x

б) За правилом диференціювання частки двох функцій

y′ =

(arctge2 x )′

sin 3x −arctge2 x (

sin 3x )′

.

(

sin 3x )2

Враховуючи, що

(arctge2 x )′ =

1

(e2 x )′ =

1

e2 x (2x)′ =

2e2 x

,

+e

4 x

4 x

4 x

1

1

+e

1 +e

( sin 3x )

′

1

(sin 3x)′ =

1

cos3x (3x)′ =

3cos3x

,

=

2 sin 3x

2

sin 3x

2 sin 3x

після простих перетворень отримуємо

y′ =

4e2 x sin 3x −3(1 +e4 x )arctge2 x cos 3x

.

(

)

sin3 3x

2 1 + e4 x

2. Похідна степенево-показникової функції

Розглянемо

функцію

y = f (x)ϕ( x) . Знайдемо

ln y = ϕ(x) ln f (x) . Диференціюючи ліву і праву

частини цієї формули за змінною x , отримаємо

1

′

′

′

f (x)

y

=ϕ (x) ln f (x) +ϕ(x)

.

y

f (x)

′

ϕ( x)

′

f ′(x)

y

= f (x)

ϕ (x)ln f (x) +ϕ(x)

.

f (x)

′

y′

Похідна

логарифмічної функції

(ln y)

=

називається логарифмічною похідною. Її зручно

y

а) y = xsin x ;

б) y =

3 2x +1 x2 − 2 .

4 3 − x

1

y′ = (sin x)′ln x +sin x(ln x)′ = cos x ln x +

sin x

, звідки

y

x

y′ = xsin x cos x ln x +

sin x

.

x

ln y =

1

ln(2x +1) +

1

ln(x2

− 2) −

1

ln(3 − x) . Диференціюючи, знаходимо

2

3

4

y

′

′

(x

2

′

′

2

x

1

=

(2x +1)

+

−2)

−

(3 − x)

=

+

+

.

y

3(2x +1)

2(x2 −2)

4(3 − x)

3(2x +1)

x2 −2

4(3 − x)

Звідси остаточно знаходимо похідну

y′ =

3 2x +1 x2 − 2

2

+

x

+

1

.

x2 − 2

4 3 − x

3(2x +1)

4(3 − x)

x =ϕ(t)

, α ≤ t ≤ β,

y =ψ(t)

y

y

t

yt′

′

= lim

=

.

то похідна yx = lim

x

x

x′

x→0

t→0

t

t

y′x =

(a sin 2t )′t

=

2a cos 2t

= −ctg 2t .

′

−2a sin 2t

(a cos 2t )t

(x2 y3 +sin y − x)′ = 0

(x2 y3 )′ +(sin y )′ − x′= 0

2xy3 + x2 3y2 y′+ cos y y′−1 = 0 .

Тепер з останнього рівняння виразимо y′ :

2

2

3

1 −

2xy3

y′(3x

y

+cos y)=1 −2xy

y′=

.

2

y

2

3x

+cos y

До цього часу ми розглядали похідну

f

′

від функції f (x) , яка називається похідною

(x)

першого порядку. Але похідна

′

f (x) у свою чергу може бути диференційовною функцією.

Означення. Похідною n -го порядку називається похідна від похідної (n −1) -го порядку.

Позначення похідних вищих порядків:

f

′′

(x)

′′′

– другого порядку (або друга похідна), f (x)

або f IV (x)

і т. д.

Приклад 5. Знайти похідні до n -го порядку включно від функції y = ln x .

1

1

′

1

1

′

2

2 3

y′ =

, y′′ =

= −

,

y′′′ = −

=

, y(4) = −

і т. д.

x

2

2

3

4

x

x

x

x

x

Очевидно, що похідна n -го порядку y(n) =

(−1)n−1(n −1)!

.

xn

Диференціал функції. Основні властивості диференціала

Приріст

y = f (x +

x) − f (x)

диференційовної функції

y = f (x) можна подати

у

вигляді

′

x +α( x)

x , де

lim α(

x) =0 .

y = f (x)

x→0

Перший доданок

′

x є головною частиною приросту функції, лінійною відносно

x .

f (x)

Означення. Головна, лінійна відносно

x , частина приросту

y диференційовної функції

y = f (x)

називається диференціалом цієї функції і позначається символом dy або df (x) .

f(x+ x)

M

dy

y

f(x)

ϕ

0

x

x+ x

x

′

Рис. 1.

dx = x

′

x = x ,

Згідно з означенням dy =

f

(x) x . Якщо

f (x) = x ,

то

тобто диференціал

dx

незалежної змінної x співпадає з її приростом

x . Тому, формулу для диференціала функції можна

записати у вигляді

dy =

′

f (x)dx .

Властивості

диференціала

в

основному

аналогічні

до

властивостей

похідної (тут u, v, f

–

диференційовні функції, C = const ):

d (uv)= vdu +udv ;

1. dC = 0 ;

4.

2. d (Cu) =Cdu ;

5.

u

=

vdu −udv

;

d

v

2

v

3. d (u ±v)= du ±dv ;

6. d (f (u))= f ′(u)du .