2.5.3 Метод ділення інтервалу пошуку на половину

Метод поділу інтервалу пошуку наполовину дозволяє зменшити інтервал пошуку в два рази при кожній ітерації[3,5] .

Алгоритм застосування данного методу наведений нижче. Отже необхідно знайти мінімум F(х) на відрізку [a, b].

Крок 1. xm=(а+b)/2; L=b-a; обчислити F(xm).

Крок 2. x₁=а+L/4; x₂=b-L/4; обчислити F(x₁) і F(x₂).

Крок 3.

Якщо F(x₁)<F(x_m), то виключити (x_m, b], тобто b=x_m, x_m=x₁. Перейти до кроку 5.

Якщо F(x₁)> F(x_m), то перейти до кроку 4.

Крок 4.

Якщо F(x₂)<F(x_m), то виключити [a, x_m), тобто а=x_m, x_m=x₂. Перейти до кроку 5.

Якщо F(x₂)> F(x_m), то виключити [a, x₁)][ і (x₂, b], тобто а=x₁, b=x₂. Перейти до кроку 5.

Крок 5. L=b-a. Якщо L <  то закінчити пошук. В іншому випадку повернутися до кроку 2.

Рис.2.4. Метод загального пошуку

Як слідує з алгоритму, з кожних трьох значень цільової функції F(х), обчислених в інтервалі пошуку, надалі використовується тільки дві, а третя не дає додаткової інформації і надалі не використовується, це є недоліком методу ділення інтервалу на половину . В методі золотого січення цільова функція обчислюється в точках інтервалу, які розташовані таким чином, щоб кожне обчислене значення цільової функції давало б нову корисну інформацію.

2.5.4 Метод золотого січення

Основна ідея методу золотого січення [3,5] полягає в тому, що інтервал пошуку ділиться на дві частини так, щоб відношення довжини великого відрізка до довжини всього інтервалу було таке, що дорівнює відношенню (рис.2.5) .

Враховуючи, що z₁+z₂=z, отримаємо:

z₁²=z z₂ = (z₁+z₂)z₂ = z₁z₂ + z₂². (2.4)

Перепишемо рівняння 2.4 в наступному вигляді:

z₁z₂ + z₂² - z₁² = 0, (2.5)

Розділимо ліву частину рівняння на і тоді будемо мати:

,

або

.

Отриманий вираз є квадратним рівнянням, якщо позначити .

Рис.2.5. Позначення використані в методі золотого січення

,

де .

Розв’яжемо відповідне рівняння і отримаємо параметр відношення , який позначимо через.

Отже, розв’язок рівняння ,

, , , .

В результаті, отримаємо інтервал невизначеності з двома точками та відповідними значеннями функції (рис.2.6).

Проаналізуємо отриману ситуацію. В методі золотого січення, де можливі два варіанти отриманих ситуацій.

Перша, якщо <- (Рис.2.7).

>,

,

,,

=,

.

Рис.2.6

Рис.2.7

Другий випадок, коли >(Рис.2.6), тоді:

<,

,,

=,

.

В першому випадку новим інтервалом пошуку буде , а в другому -.

Алгоритм застосування методу „золотого січення” наведено нижче.

Крок 1. Обчислюємо коефіцієнт дроблення відрізка [a, b] k=(- 1)/2.

Крок 2. x₁=а+(1-k)(b-a), обчислити F(x₁).

Крок 3. x₂=а+k(b-a), обчислити F(x₂).

Крок 4.

Якщо x₂-x₁| < _, де - задана точність, то x_m = (x₁+x₂)/2, обчислити F(x_m) і закінчити пошук.

Якщо x₂-x₁| > _ ,  то перейти до кроку 5.

Крок 5.

Якщо F(x₁)>F(x₂), то виключити а = x₁, x₁ = x₂ і F(x₁) = F(x₂). Перейти до кроку 3, потім до кроку 4.

Якщо F(x₁) < F(x₂), то b = x₂, x₂=x₁ і F(x₁)=F(x₂). Перейти до кроку 2 і 4.

Приклад. Мінімізувати функцію на інтервалі.

Для того, щоб перейти до інтервалу одиничної довжини, зробимо заміну змінних, поклавши . Таким чином, задача прийме наступний вигляд:

мінімізувати ,

при обмеженні .

Ітерація 1.

; . Проведемо два перших обчислення значення функції:

, ,

, .

Оскільки і, інтервалвиключається.

Ітерація 2.

;. Наступне обчислення функції проводиться в точці

, .

Оскільки і, інтервалвиключається.

Ітерація 3.

,. Наступне обчислення функції проводиться в точці, розміщеній на віддалі(довжина отриманого проміжка) від лівої границі точки інтервала, або на віддалі(довжина інтервала) від правої граничної точки. Таким чином,

.

.

Оскільки і, інтервалвиключається.

В результаті отримано наступний інтервал невизначеності для змінної, абодля змінної.

Якщо в процесі пошуку проведено шість обчислень значень функції, то довжина результуючого інтервала для змінної рівна, що відповідає інтервалу довжиною 8.1 для змінної. Для порівняння, в аналогічній ситуації методу ділення інтервала наполовину отримано інтервал довжиною 11.25.