Конспект лекцій. Теслюк В.М., Андрійчук М.І. „Методи синтезу та оптимізації”

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИ, АЛГОРИТМИ ТА ОСОБЛИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ ОДНОВИМІРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

1. Особливості задач одновимірної оптимізації

Пошук екстремуму функції можна порівняти з пошуком в озері найглибшого місця. При кожному вимірі отримуємо нову інформацію. Якщо, при наступному вимірі глибина виявилася більша, ніж в попередньому, то отримана інформація корисна і навпаки, якщо при наступному вимірі отримана менша глибина, ніж у попередньому випадку, то результат не дає ніякої корисної інформації і затрачені зусилля були марними. Розробляючи методи пошуку, прагнуть знайти екстремум як можна швидше, зробивши як можна менше некорисних спроб. У даному розділі розглядаються методи одновимірного пошуку максимуму (мінімуму) цільової функції. При цьому, будемо передбачати, що цільові функції, які досліджуються є «унімодальними» [3,5,11], тобто мають в інтервалі невизначеності, який розглядається тільки один пік (оптимум). В цьому випадку, обчислюючи послідовно значення цільової функції, при зростаючих значеннях проектного параметра, ми набуваємо все більших її значень, поки не досягнемо піку (оптимуму).

Пройшовши пікове значення, при кожному наступному отриманому значенні проектного параметра будемо набувати меншого значення цільової функції. Насправді таке обмеження на характер поверхні, що задається цільовою функцією є не так жорстким, як може виявитися на перший погляд, оскільки багато задач, з якими інженер стикається в своїй практиці, виявляються «унімодальными».

Задачу одновимірної оптимізації можна поставити таким чином. Значення проектного параметра х мають бути розміщені в інтервалі . Приступаючи дорішення такої задачі, ми нічого не знаємо про цільову функцію, окрім того, що вона унімодальна. Інтервал зміни значень змінної х, в якому розміщений оптимум, будемо називати «інтервалом невизначеності». На початку процесу оптимізації цей інтервал має довжину b-a, (Рис. 2.1). Обчисливши значення цільової функції F₁ і F₂ при значеннях проектного параметра іу вказаному інтервалі, звузимо інтервал невизначеності (Рис. 2.2). Існуєдекілька шляхів систематичного звуження інтервалу, які викладаються нижче.

Рис.2.1. Інтервал невизначеності для функції однієї змінної

Рис.2.2. Звуження інтервалу невизначеності шляхом обчислення двох значень цільової функції

2.2 Умови існування екстремуму функції однієї змінної

На рис. 2.3 дано графічне представлення функції F(x) та її похідної, яка має локальний мінімум в точці х₀ і глобальний мінімум в точці х* [3].

Рис 2.3 Графічне представлення цільової функції

Класичний підхід до задачі знаходження значень х₀ і х* складається в пошуку рівнянь, яким вони задовільняють. Представлена на рис. 2.3 функція і її похідна неперервна, і видно, що в точках х₀ і х* є рішеннями для цієї функції

.

Точка х_T, в якій досягається локальний максимум, і точка хс, в якій є точка горизонтального перегину функції, також задовольняє цьому рівнянню. Отже, дане рівняння є тільки необхідною умовою, але не є достатньою умовою.

Слід відмітити, що в точках х₀ і х* похідна міняє знак з негативного на позитивний. У точці х_т знак міняється з позитивного на негативний, в той же час як в точці х_с він не міняється. Отже, похідна в мінімумі є зростаючою функцією, а оскільки міра зростання F(x) вимірюється другою похідною, то можна стверджувати, що F''(x₀)>0, F'' (x*)>0, тоді як F'' (x) <0.

Якщо, однак, друга похідна рівна нулю, ситуація залишається невизначеною.

Отримані вище результати можуть знайти надійне обгрунтування, якщо розглянути розклад функції F(x) в ряд Тейлора в околі точки х_o (або х*, або хт), що, звичайно, вимагає неперервності функції F(x) і її похідних:

F(x₀ + h) - F(x₀) = hF'(x)+(h²/2!) F''(x₀)+...   

Якщо в точці x₀ досягається мінімум, то ліва частина розкладу буде не від’ємною для будь-якого досить малого h (|h|<)і перша похідна F'(x₀)має бути рівна нулю - це і є достатня і необхідна умова (див. рівняння рівності нулю похідної).

Оскільки в наступному доданку розкладу завжди h²>0, якщо

F'' (x*)>0,       

то в точці x₀ досягається мінімум. Якщо F'(x_т)=0 і F''(x_т)<0, то з аналогічних міркувань в точці x_т досягається максимум. Для визначення відмінності між локальним і глобальним мінімумами необхідно порівняти значення функцій F(x₀) та F(x*).

2.3 Класифікація методів одновимірної оптимізації

Незважаючи на те, що оптимізаційні задачі з цільовою функцією однієї змінної найбільш простий вид оптимізаційних задач, вони займають центральне місце в теорії оптимізації як з теоретичної, так і з практичної точок зору. Це пов'язано з тим, що задачі однопараметричної оптимізації досить часто зустрічаються в інженерній практиці і, окрім того, знаходять своє застосування при реалізації більш складних інтерактивних процедур багатопараметричної оптимізації.

Своєрідним індикатором важливості методів оптимізації функції однієї змінної є величезна кількість реалізованих алгоритмів, які умовно можна згрупувати таким чином[3]:

• методи виключення інтервалів;

• методи поліноміальної апроксимації;

• методи з використанням похідних.

Методи пошуку, які дозволяють визначити оптимум функції однієї змінної шляхом зменшення інтервалу пошуку, носять назву методів виключення інтервалів.

Усі методи одновимірної оптимізації базуються на припущенні, що цільова функція, в допустимій області принаймі володіє властивістю унімодальності, оскільки для унімодальної функції F(х) порівняння значень (F(х₁) та F(х₂)) в двох різних точках (x₁ і x₂) інтервалу пошуку дозволяє визначити в якому із заданих підінтервалів точка оптимуму відсутня.

Основна перевага методів виключення інтервалів полягає в тому, що вони засновані на обчисленні тільки значень цільової функції і, отже, не вимагають виконання умови диференційованості та запису в аналітичному вигляді. Остання властивість особливо цінна при імітаційному моделюванні.

Процес застосування методів пошуку на основі виключення інтервалів включає два етапи:

• етап встановлення кордонів інтервалу;

• етап зменшення інтервалу.